Un invariant de croissance d'une algèbre finiment engendrée A sur un corps qui mesure le taux asymptotique de croissance des dimensions des puissances d'un sous-espace engendrant V de dimension finie, typiquement défini par GKdim(A)=limsup_{n→∞} log(dim V^n)/log n.

Principe

La dimension GK classe les algèbres selon des taux de croissance polynomiaux ou exponentiels de l'enveloppe linéaire sous multiplication ; elle est indépendante du choix du sous-espace engendrant de dimension finie, en tant qu'invariant.

Démonstration

Pour l'algèbre polynomiale k[x1,...,xd], GKdim = d car les dimensions des polynômes de degré ≤ n croissent comme n^d ; l'algèbre libre en deux générateurs a croissance exponentielle et GKdim = ∞ ; l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie de dimension finie a GKdim fini égal à un degré prévisible.

Mauvaise application

Confondre la dimension GK avec la dimension de Krull ou utiliser GKdim sans hypothèses de finitude (par ex. sur des algèbres non finiment engendrées) mène à des affirmations sans sens ; supposer que GKdim fini implique commutativité est faux.

Conséquence

La dimension GK contraint la théorie des représentations et le comportement des anneaux : GKdim fini fournit souvent un contrôle sur la croissance des modules, des liens possibles avec la propriété PI, et influence les propriétés d'atomicité homologique et catégorique.

Inversion

Une algèbre de dimension GK infinie présente une croissance exponentielle ; à l'inverse, les algèbres de GKdim zéro sont de dimension finie, et les dimensions GK entières intermédiaires reflètent une croissance de type polynômiale.

Limite

Définie principalement pour des algèbres finiment engendrées (ou des algèbres filtrées avec des graduations de dimension finie) sur un corps ; sensible au corps de base mais invariante sous extensions finies de corps ; ce n'est pas un substitut à la dimension de Krull ou homologique.

Tension sémantique

Dimension GK vs dimension de Krull ou dimension homologique : la GKdim est un invariant de croissance asymptotique de la taille en espace vectoriel, tandis que les dimensions de Krull et homologique mesurent des longueurs de chaînes ou des dimensions projectives ; elles peuvent coïncider pour des cas commutatifs affines mais diverger en noncommutatif.

Synthèse

La dimension de Gelfand–Kirillov quantifie le degré asymptotique polynômial de croissance des parties graduées/filtrées d'une algèbre, distinguant les croissances polynomiale et exponentielle et éclairant la théorie des représentations et la structure.