Pour un domaine R, la normalité signifie que R est intégralement clos dans son corps des fractions ; pour un schéma, être normal signifie que tous les anneaux locaux sont des domaines intégralement clos.

Principe

La normalité s'organise autour de l'intégralité : les éléments du corps des fractions qui satisfont une relation polynômiale unitaire à coefficients dans R appartiennent déjà à R. Elle contrôle l'extension des diviseurs et le comportement en codimension un.

Démonstration

Tout anneau à factorisation unique (UFD) est normal ; l'anneau de coordonnées k[x1,...,xn] et les anneaux locaux de variétés lisses sont normaux, tandis que l'anneau de la cuspide k[t^2,t^3] n'est pas normal et nécessite une normalisation.

Mauvaise application

Confondre normalité et factorabilité (UFD) ou avec la régularité ; supposer qu'être intégralement clos entraîne de bonnes propriétés de factorisation ou la lissité est faux.

Conséquence

Les anneaux normaux autorisent une théorie des diviseurs bien comportée en codimension un, les morphismes de normalisation sont finis sous des hypothèses faibles, et certaines propriétés de cohomologie locale et d'extension se simplifient sur des schémas normaux.

Inversion

Les anneaux non normaux contiennent des éléments entiers absents de R ; leur normalisation introduit une extension birationnelle finie qui corrige certaines singularités mais peut créer plusieurs composantes.

Limite

La normalité est principalement une propriété des domaines (ou de chaque composante irréductible) ; pour les anneaux non intègres on travaille composante par composante ou avec la clôture intégrale dans l'anneau total des fractions ; des phénomènes dépendant de la caractéristique peuvent apparaître.

Tension sémantique

Normal vs intégralement clos vs normalité géométrique : l'intégralement clos dans le corps des fractions est la définition algébrique, tandis que la normalité géométrique implique des conditions de stabilité par changement de base et de séparabilité sur des corps non parfaits.

Synthèse

La normalité est la condition d'intégralité complète pour un domaine : elle interdit les éléments entiers 'cachés' dans le corps des fractions, ce qui permet une théorie des diviseurs contrôlée et des singularités en codimension un plus douces.