Un module P sur un anneau R est projectif s'il est un facteur direct d'un module libre ; équivalemment P possède la propriété de relèvement : pour toute surjection M → N et tout morphisme P → N, il existe un relèvement P → M. Homologiquement, cela équivaut à Ext1_R(P,−) = 0.

Principe

Les projectifs scindent les surjections : les applications provenant d'un projectif se factorisent à travers des surjections, reflétant une capacité voisine de la liberté à lever des relations et à rendre certaines suites exactes scindées quand P est un facteur direct.

Démonstration

Z est projectif comme Z-module (en fait libre de rang 1). Sur un anneau local, tout module projectif de type fini est libre, de sorte que la projectivité se réduit à une condition de base classique ; en revanche Z/2Z n'est pas projectif sur Z.

Mauvaise application

Prétendre que tout module projectif est libre sans hypothèse sur l'anneau ; sur des anneaux non locaux et non principaux existent des projectifs non libres. Confondre projectif et injectif mélange des rôles homologiques duals.

Conséquence

Les modules projectifs simplifient l'algèbre homologique : ils admettent des résolutions projectives courtes, annulent Ext^1 et permettent le scindage de suites exactes dans lesquelles ils apparaissent comme facteur direct, facilitant classification et relèvement.

Inversion

Les modules non projectifs ne peuvent pas toujours relever des applications à travers des surjections et peuvent produire des extensions non triviales mesurées par les groupes Ext ; les problèmes de scindage ou de relèvement deviennent obstructés et nécessitent des résolutions plus longues.

Limite

La projectivité est en général plus forte que la platitude et n'implique pas la finitude sauf précision ; beaucoup d'énoncés finitude ou géométriques demandent en outre que le projectif soit de type fini ou de présentation finie.

Tension sémantique

Tension entre la notion abstraite d'un projectif homologique et l'intuition concrète de « libre » : sur certains anneaux les notions coïncident, tandis que sur d'autres existent des projectifs non libres porteurs d'informations arithmétiques ou géométriques fines.

Synthèse

La projectivité signifie être facteur direct d'un module libre, ou encore posséder la propriété de relèvement pour les surjections ; cela fournit des modules scindant les suites exactes et annulant les obstructions homologiques au premier ordre.