Procédure de détermination du socle d'un module ou d'une algèbre : le socle est la somme de tous les sous-modules minimaux non nuls (ou, de façon équivalente, le plus grand sous-module semi-simple), calculée en repérant les sous-modules simples et en les sommant.

Principe

Identifier tous les sous-modules simples ou les éléments dont le sous-module cyclique est simple (annulé par un idéal maximal), puis former leur somme ; alternativement, calculer l'annulateur du radical de Jacobson dans de nombreux contextes de dimension finie ou artiniens, puisque le socle coïncide alors avec cet annulateur.

Démonstration

Pour le module k[x]/(x^2) sur un corps k, le socle est l'idéal engendré par la classe de x car x est annulé par x et le sous-module qu'il génère est simple. Pour un module d'une algèbre de dimension finie décomposé en facteurs de composition, le socle est la somme directe de toutes les copies des modules simples apparaissant en couche inférieure d'une série de composition.

Mauvaise application

Supposer que le socle est toujours non nul ou qu'il est un complément du radical ; pour beaucoup de modules sur des anneaux non artiniens le socle peut être nul. Un autre abus est de confondre socle et sommet (top) : le socle est le plus grand sous-module semi-simple alors que le sommet est le plus grand quotient semi-simple, et leurs comportements sous dualité et suites exactes diffèrent.

Conséquence

Le calcul du socle révèle le cœur semi-simple d'un module : il identifie les constituants irréductibles situés au bas de la hiérarchie des sous-modules, oriente la construction d'enveloppes injectives minimales et aide à stratififier les catégories de modules par couches de facteurs de composition.

Inversion

À opposer au radical ou au sommet : le radical est l'intersection des sous-modules maximaux (le plus grand sous-module propre sans quotient simple), et prendre le sommet (module / radical) inverse la direction d'extraction des morceaux semi-simples. Inverser le calcul du socle donne des informations sur les quotients semi-simples maximaux plutôt que sur les sous-modules minimaux.

Limite

Significatif et calculable dans les contextes artiniens, noethériens ou de dimension finie où les simples sont classifiés ; sur des anneaux généraux le socle peut être trivial ou difficile à calculer par absence de classification des modules simples. Les méthodes reposant sur l'annulateur du radical de Jacobson exigent des hypothèses de finitude adaptées.

Tension sémantique

La tension sémantique apparaît entre socle et sommet/top : les deux sont constructions semi-simples mais duales. Il y a aussi une tension entre voir le socle comme somme de sous-modules simples et comme annulateur d'un radical — ces descriptions coïncident sous hypothèses de finitude mais divergent hors de celles-ci.

Synthèse

Le calcul du socle consiste à identifier et sommer tous les sous-modules minimaux non nuls (le plus grand sous-module semi-simple) d'un module ; dans les contextes de dimension finie ou artiniens il coïncide avec l'annulateur du radical de Jacobson et fournit le noyau semi-simple pour construire les enveloppes injectives et décompositions en couches, tandis que dans des contextes généraux il peut être nul ou subtil à déceler.