L'algèbre des fonctions définies sur les intervalles [x,y] d'un ensemble partiellement ordonné localement fini (poset), avec l'addition point par point et la multiplication donnée par convolution (f * g)(x,y) = Σ_{x ≤ z ≤ y} f(x,z) g(z,y); la fonction zêta et la fonction de Möbius vivent dans cette algèbre.

Principe

Faire correspondre la composition d'intervalles à un produit par convolution : la décomposition d'un intervalle [x,y] par un point intermédiaire z se traduit par une sommation sur ces décompositions, de sorte que les fonctions sur intervalles forment une algèbre par convolution d'intervalles.

Démonstration

Pour une chaîne finie 1 < 2 < 3, l'algèbre d'incidence est isomorphe à l'algèbre des matrices triangulaires supérieures 3×3 : une fonction sur les intervalles correspond à des entrées indexées par (i,j) avec i ≤ j, et la convolution coïncide avec la multiplication matricielle restreinte à cette structure triangulaire.

Mauvaise application

Appliquer la définition à des posets non localement finis sans contrôler les sommes infinies (rendant la convolution mal définie), ou considérer l'algèbre d'incidence comme l'algèbre des fonctions sur toutes les paires ordonnées sans restreindre aux intervalles, ce qui fait perdre le sens de composition d'intervalles.

Conséquence

L'inversion de Möbius existe parce que la fonction zêta (constante 1 sur les intervalles) admet un inverse dans l'algèbre d'incidence si le poset est localement fini ; des formules d'inversion combinatoire et des identités énumératives découlent de manipulations algébriques dans cette algèbre.

Inversion

Remplacer la convolution par le produit point par point donne une autre structure algébrique (produit pointwise) qui ignore la composition d'intervalles ; en dualité, considérer des décompositions coalgebriques des intervalles offre un point de vue catégorique alternatif.

Limite

La définition exige des posets localement finis (chaque intervalle contient un nombre fini d'éléments) pour que les sommes de convolution soient finies ; on traite en général des fonctions sur les intervalles, non des paires ordonnées quelconques ni des relations non-intervalle ; les extensions à des posets infinis demandent une topologie ou des contrôles de finitude.

Tension sémantique

L'algèbre d'incidence est proche des algèbres d'adjacence ou des algèbres matricielles associées à des digraphes, mais s'en distingue car la convolution somme sur les éléments intermédiaires reflète la composition d'intervalles propre à l'ordre plutôt que l'adjacence simple ; elle ne doit pas être confondue avec l'algèbre de groupe d'un groupoïde d'incidence sauf si ce point de vue est explicité.

Synthèse

L'algèbre d'incidence est l'algèbre de convolution des fonctions sur les intervalles d'un poset localement fini : en sommant sur les points intermédiaires on encode algébriquement la composition d'intervalles, ce qui permet l'inversion de Möbius et de nombreuses manipulations combinatoires.