L'algèbre associative unitaire U(g) construite à partir d'une algèbre de Lie g et universelle pour les représentations de g dans des algèbres associatives ; obtenue concrètement comme le quotient de l'algèbre tensorielle T(g) par l'idéal engendré par x⊗y − y⊗x − [x,y].

Principe

Encoder le crochet de Lie à l'intérieur d'une algèbre associative de sorte que les modules de Lie correspondent aux modules sur U(g) ; l'universalité signifie que tout homomorphisme de Lie de g vers l'algèbre de Lie d'une algèbre associative se factorise de façon unique par U(g).

Démonstration

Pour l'algèbre de Lie abélienne g (crochet nul), U(g) est l'algèbre symétrique S(g) ; pour g = sl2, U(g) admet une base donnée par le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt (PBW) fournissant une filtration analogue à une graduation et soutient la classification des représentations de dimension finie via la théorie des plus hauts poids.

Mauvaise application

Confondre U(g) avec l'algèbre de groupe d'un groupe de Lie ou supposer que U(g) est commutative ; une autre erreur consiste à ignorer la filtration PBW et à déduire des égalités graduées qui ne tiennent que pour l'algèbre associée graduée.

Conséquence

U(g) fournit un cadre associatif concret pour étudier les représentations, les éléments centraux (opérateurs de Casimir) et les phénomènes de déformation/quantification ; il permet le passage entre techniques de théorie de Lie et de théorie associative des algèbres.

Inversion

Plutôt que d'envelopper une algèbre de Lie par une algèbre associative, on peut prendre l'algèbre de Lie d'une algèbre associative en antisymétrisant le produit ; l'inversion déplace l'accent des constructions associatives universelles vers la structure de Lie intrinsèque des algèbres associatives.

Limite

Définie pour des algèbres de Lie sur un anneau ou un corps de base ; il faut être prudent en caractéristique positive et pour g de dimension infinie où des complétions ou variantes topologiques de U(g) peuvent être nécessaires. U(g) encode la structure de Lie mais ne reconstruit pas l'information de groupe globale ni la topologie de groupe sans données supplémentaires.

Tension sémantique

Tension avec l'algèbre symétrique et avec les algèbres de groupe : U(g) se réduit à l'algèbre symétrique lorsque le crochet est nul, mais est généralement non commutative et diffère fondamentalement des algèbres provenant de groupes ; son universalité le distingue des constructions associatives ad hoc.

Synthèse

L'algèbre enveloppante universelle est le quotient associatif de T(g) réalisant le crochet de Lie comme commutateurs, fournissant un lieu universel pour les représentations de Lie et faisant le lien entre la théorie de Lie et les méthodes des algèbres associatives via le théorème PBW et les constructions centrales.