Une algèbre associative engendrée par un espace vectoriel V muni d'une forme quadratique Q, soumise aux relations v·v = Q(v)·1 qui encodent la forme quadratique dans le produit ; couramment notée Cl(V,Q).

Principe

Imposer un produit bilinéaire qui combine données linéaires et quadratiques : la relation de Clifford identifie la partie symétrique du produit avec la forme quadratique, produisant une algèbre qui s'intercale entre l'algèbre extérieure et une algèbre non commutative reflétant la géométrie de Q.

Démonstration

Pour V = R^n avec la forme définie positive standard, Cl(V,Q) contient une copie de l'algèbre extérieure mais avec une multiplication modifiée ; en basses dimensions Cl(R^2,Q) est isomorphe à une algèbre de matrices, et en physique les spineurs apparaissent naturellement comme modules sur les algèbres de Clifford.

Mauvaise application

Utiliser la multiplication de Clifford comme si elle était purement graduée-commutative comme le produit wedge ou ignorer la dépendance à la forme quadratique Q (par exemple appliquer des formules valides pour l'algèbre extérieure sans vérifier Q) conduit à des erreurs de signe et de facteur et à des structures de module incorrectes.

Conséquence

Une construction correcte fournit un cadre algébrique puissant encodant l'information métrique, permettant la représentation des groupes orthogonaux, la construction de représentations spinorielles et des modèles algébriques d'opérateurs de type Dirac.

Inversion

Remplacer la relation de Clifford par l'antisymétrie donne l'algèbre extérieure ; supprimer les données quadratiques réduit la géométrie à de l'algèbre multilinéaire purement alternée et fait perdre la structure dépendante de la métrique.

Limite

Dépend de manière cruciale de la forme quadratique Q ; sur des corps de caractéristique deux la relation v·v = Q(v) est subtile et certaines identifications standard échouent. L'algèbre encode la métrique mais pas des structures tensorielles d'ordre supérieur sauf si elles sont adjointes.

Tension sémantique

Située entre l'algèbre extérieure et les algèbres de matrices : c'est un quotient de l'algèbre tensorielle comme l'algèbre extérieure, mais avec des relations différentes ; les praticiens mettent parfois l'accent soit sur son ombre graduée-commutative (extérieure), soit sur ses liens avec les algèbres matricielles et les représentations.

Synthèse

L'algèbre de Clifford est l'algèbre associative engendrée par V avec les relations v^2=Q(v), synthétisant structure linéaire et quadratique en un objet algébrique unique qui encode les données métriques, produit des modules spinoriels et relie constructions extérieures et matricielles.