Une algèbre décomposée en somme directe de composantes homogènes A = ⊕_{d∈D} A_d indexées par des degrés (souvent D = entiers ≥0 ou Z) telles que le produit envoie A_i × A_j dans A_{i+j} ; les éléments sont des sommes de pièces homogènes.

Principe

La graduation organise les éléments par degré et impose l'additivité des degrés comme règle de multiplication ; elle permet des constructions homologiques sensibles au degré, des modules gradués et des filtrations issues de troncatures.

Démonstration

L'algèbre polynomial K[x] est graduée par le degré avec K[x]_d l'espace des polynômes homogènes de degré d. L'algèbre extérieure ∧V est graduée et la multiplication fait croître le degré.

Mauvaise application

Confondre une graduation avec une filtration ou supposer que toute décomposition en somme directe est multiplicative conduit à des erreurs ; un autre abus est d'ignorer des questions de convergence de sommes directes en degré infini.

Conséquence

Une graduation fournit des modules gradués, des homomorphismes gradués, des arguments par suites spectrales et simplifie souvent les calculs en travaillant degré par degré ; des invariants comme la série de Hilbert encodent les dimensions graduées.

Inversion

Le contraire est une algèbre non graduée ou filtrée où seule une famille emboîtée de sous-espaces est donnée mais pas de décomposition en pièces homogènes exactes, ce qui modifie les techniques disponibles.

Limite

Exige une véritable décomposition en somme directe indexée par des degrés avec multiplication respectant l'addition des degrés ; exclut les filtrations, les graduations non respectées par la multiplication et les décompositions incompatibles avec la structure d'algèbre.

Tension sémantique

Tension subtile entre structures graduées et filtrées : de nombreux théorèmes valent dans un contexte gradué mais doivent être remplacés ou récupérés (par exemple via l'associé gradué) dans le contexte filtré.

Synthèse

Une algèbre graduée est une algèbre stratifiée en composantes homogènes de degrés, dont la multiplication respecte l'addition des degrés ; cette structure permet une analyse par degré, des modules gradués et des invariants exploitant l'homogénéité.