Un espace vectoriel ou module sur un anneau commutatif ou un corps muni d'une multiplication bilinéaire qui est associative : (ab)c = a(bc) pour tous éléments a, b, c. La structure d'algèbre combine la structure linéaire avec un produit binaire associatif unique.

Principe

L'associativité permet d'omettre les parenthèses dans les produits finis et soutient des opérations de type composition et des homomorphismes vers des algèbres d'endomorphismes ; les constructions algébriques et les actions sur modules dépendent de cet ordre non ambigu de multiplication.

Démonstration

L'algèbre des matrices M_n(K) sur un corps K est associative : la multiplication matricielle est bilinéaire et vérifie (AB)C = A(BC). L'anneau polynomial K[x] muni de la multiplication usuelle fournit aussi une algèbre associative, graduée par le degré.

Mauvaise application

Traiter une structure non associative (par exemple une algèbre de Lie avec son crochet) comme si son produit était associatif, ou supposer que l'associativité implique la commutativité ou l'existence d'une identité multiplicative, conduit à des manipulations incorrectes.

Conséquence

Lorsque la multiplication est associative, on obtient des algèbres d'opérateurs bien définies et des catégories de modules, on peut former des produits tensoriels et des quotients par des idéaux bilatères, et utiliser les outils standard de la théorie des représentations.

Inversion

La notion opposée est une algèbre non associative (par exemple une algèbre de Lie ou de Jordan) où le produit n'est pas associatif et les calculs exigent l'usage explicite des parenthèses et des identités qui mesurent la défaillance.

Limite

Exige une multiplication bilinéaire associative sur un module sur un anneau commutatif ou un corps ; exclut les structures purement coalgébrales, les produits non bilinéaires, et les algèbres définies seulement à la marge par un associateur (par exemple les A∞-algèbres hors du cadre strict).

Tension sémantique

On confond souvent associativité et commutativité ; beaucoup d'expositions ne distinguent pas clairement les deux propriétés, alors qu'elles sont indépendantes — une algèbre peut être associative sans être commutative.

Synthèse

Une algèbre associative est un objet linéaire muni d'un produit bilinéaire qui se compose comme des opérateurs : elle unit la structure linéaire d'un module et une multiplication associative pour permettre modules, idéaux, quotients et constructions algébriques usuelles.