Un homomorphisme de classes caractéristiques multiplicatives de la K-théorie vers la cohomologie qui associe à un fibré vectoriel son caractère de Chern total, une classe en cohomologie à coefficients rationnels mesurant la charge topologique et linéarisant le produit tensoriel en K-théorie.

Principe

Transcrire les classes de K-théorie en invariants cohomologiques par l'exponentielle des classes de Chern, de sorte que la structure additive en K-théorie corresponde à la somme en cohomologie de degré pair et que le produit tensoriel se traduise (après rationalisation) en produit cup multiplicatif.

Démonstration

Pour un fibré en droites complexe L sur une variété lisse, ch(L)=exp(c1(L)) dans H^{pair}(X;Q). Pour une somme directe E⊕F, ch(E⊕F)=ch(E)+ch(F), et pour un produit tensoriel ch(E⊗F)=ch(E)∪ch(F) après passage aux coefficients rationnels.

Mauvaise application

Considérer le caractère de Chern comme un isomorphisme intégral et négliger la torsion : il efface en général l'information de torsion et n'est un isomorphisme qu'après tensorisation par Q ; le confondre avec la classe de Chern totale est une erreur de catégorie.

Conséquence

Permet les formules d'indice et les théorèmes de Riemann–Roch en transférant des problèmes de K-théorie vers la cohomologie, où des nombres caractéristiques et des intégrales calculent des indices et des charges topologiques.

Inversion

Reconstruire une classe de K-théorie unique à partir d'une classe de cohomologie n'est pas canonique : une inverse existe seulement rationnellement et demeure non unique parce que les données intégrales et de torsion en K-théorie sont invisibles au caractère de Chern.

Limite

S'applique en topologie, différentiable et algébrique avec des théories de cohomologie adaptées mais exige des coefficients rationnels pour être pleinement fidèle ; il ne récupère pas la torsion de K-théorie et doit être modifié sur les espaces singuliers ou pour les théories équivariantes ou p-adiques.

Tension sémantique

Proche de la classe de Chern totale et des classes caractéristiques en général, la tension porte sur les points de vue multiplicatif, additif et intégral versus rationnel : le caractère de Chern linéarise la structure multiplicative de la K-théorie au prix de l'information de torsion.

Synthèse

Le caractère de Chern est le pont rationnel de la K-théorie vers la cohomologie : il convertit les données de fibrés vectoriels en invariants cohomologiques via les classes de Chern exponentielles, ce qui permet des calculs et des théorèmes d'indice tout en sacrifiant les subtilités de torsion.