Une application qui envoie des classes de cycles algébriques homologuément triviales vers des points d’un tore analytique complexe (un jacobien intermédiaire ou jacobien), construite en intégrant des formes différentielles appropriées le long de chaînes bornant le cycle ; pour les courbes elle envoie les diviseurs de degré zéro dans le jacobien via l’intégration de différentielles holomorphes.

Principe

Elle traduit des données algébro-géométriques (cycles homologuément triviaux) en invariants transcendants en appariant cycles et formes différentielles puis en quotientant par les périodes, détectant une information plus fine que les classes de cohomologie seules et produisant des fonctions normales ou des points dans des tores complexes.

Démonstration

Abel–Jacobi classique pour une courbe projective lisse X : donné un diviseur D de degré zéro, choisir une 1-chaîne γ avec ∂γ = D et envoyer D sur la classe [∫_γ ω] dans H^0(X, Ω)^*/H_1(X, Z) — concrètement le jacobien. En codimension supérieure, Abel–Jacobi de Griffiths envoie les cycles homologuément triviaux de CH^p(X)_{hom} vers le jacobien intermédiaire J^{2p-1}(X).

Mauvaise application

Supposer que l’application d’Abel–Jacobi est algébrique, injective ou définie intégralement en tout contexte ; la confondre avec la simple application d’Abel pour diviseurs effectifs ; ou l’appliquer lorsque le cycle n’est pas homologuément trivial, cas où la construction n’a pas de sens.

Conséquence

L’application d’Abel–Jacobi produit des obstructions transcendantales à l’algébricité (éléments du groupe de Griffiths), relie la théorie des cycles à la théorie de Hodge et aux intégrales de périodes, et sous-tend les fonctions normales ainsi que les liens avec les régulateurs et valeurs spéciales de fonctions L.

Inversion

Une inversion est la flèche classe de cycle qui envoie cycles vers leurs classes de cohomologie (algébrique → topologique) ; le problème inverse — construire des cycles algébriques à partir de points du jacobien intermédiaire — est l’objet de conjectures profondes (problèmes de type Hodge) et échoue en général sans hypothèses supplémentaires.

Limite

Définie principalement pour des cycles homologuément triviaux et dans des contextes admettant des réalisations de Hodge ou analytiques complexes (variétés algébriques complexes) ; sur des corps quelconques il faut remplacer la cible par des réalisations l-adiques, p-adiques ou motiviques et la description analytique par intégration peut manquer.

Tension sémantique

La tension provient de la dualité entre la construction d’Abel–Jacobi, de nature transcendante, et des invariants purement algébriques comme la classe de cycle ou l’équivalence algébrique ; Abel–Jacobi détecte plus finement que la cohomologie mais n’est pas strictement algébrique, ce qui crée une friction pour des interprétations modulaires algébriques.

Synthèse

L’application d’Abel–Jacobi associe à un cycle algébrique homologuément trivial un point d’un tore analytique complexe en intégrant des formes différentielles le long de chaînes bornantes ; elle convertit une information fine d’équivalence algébrique en invariants transcendants mesurant l’obstruction à l’algébricité et reliant les cycles aux périodes de Hodge.