Le schéma de Picard relatif Pic_{X/S} (lorsqu’il est représentable) est le schéma (ou schéma en groupes) représentant le faisceau qui à un S-schéma T associe le groupe des classes d’isomorphie de fibrés en droites sur X_T modulo ceux provenant de T ; il organise les familles de fibrés en droites et leurs classes d’équivalence algébrique et se décompose souvent en composantes comme Pic^0 et le réseau de Néron–Severi.

Principe

Le principe est d’encoder le comportement de déformation et en famille des fibrés en droites : le schéma de Picard transforme le foncteur de Picard en un objet de type groupe représentable lorsque les hypothèses de représentabilité sont satisfaites (propreté, platitude, conditions de cohomologie).

Démonstration

Pour une famille lisse et propre de courbes f : X→S, le schéma de Picard relatif existe et sa composante connexe Pic^0_{X/S} est un schéma abélien ; si S est un point et X une courbe projective lisse, Pic^0(X) est la variété jacobienne qui paramètre les fibrés en droites de degré zéro.

Mauvaise application

Supposer l’existence du schéma de Picard sans vérifier les hypothèses de représentabilité (par exemple pour des familles non propres ou singulières), ou confondre le schéma de Picard avec le champ de Picard ou avec le groupe de Picard d’une variété isolée sans la structure en schéma et le comportement en famille.

Conséquence

Lorsqu’il existe, le schéma de Picard fournit un objet de groupe géométrique contrôlant la variation des fibrés en droites, permet la construction de duaux (par ex. jacobiennes), donne des outils pour étudier hauteurs et groupes de Néron–Severi, et se relie aux constructions d’Abel–Jacobi et de régulateur.

Inversion

Le point de vue dual met l’accent sur le groupe de Brauer ou le module des algèbres d’Azumaya, ou l’on peut passer au champ de Picard qui mémorise les automorphismes des fibrés en droites ; ce sont des paramétrages complémentaires ou ‘inverses’ des données tordues ou d’ordre supérieur.

Limite

La représentabilité demande des hypothèses (morphismes propres, plats, conditions de cohomologie et changement de base) ; hors de ces hypothèses on travaille avec le foncteur de Picard comme faisceau fppf/étale ou avec le champ de Picard. Sur bases non réduites ou en caractéristique positive, des pathologies peuvent apparaître et la connexité ou la structure d’un schéma abélien peuvent échouer.

Tension sémantique

Une tension existe entre le schéma de Picard, la variété de Picard (sa plus grande sous-variété abélienne réduite et connexe) et le champ de Picard ; on confond parfois foncteur des points, schéma représentant et groupes de Picard classiques, créant une ambiguïté sur la représentabilité, la connexité ou les automorphismes.

Synthèse

Le schéma de Picard, lorsqu’il est représentable, est l’objet géométrique qui paramètre les familles de fibrés en droites (modulo pullback) sur X→S ; c’est un schéma en groupes qui organise l’équivalence algébrique et l’information de déformation, Pic^0 retenant la partie variété abélienne et les autres composantes enregistrant les données discrètes de Néron–Severi.