Une famille bigraduée conjecturale (partiellement construite) de groupes abéliens H^{p,q}_mot(X) attachés à des variétés algébriques X destinée à englober les cycles algébriques, les régulateurs et les gradués de la K-théorie algébrique ; dans des contextes concrets réalisée par les groupes de Chow supérieurs ou les complexes motiviques de Voevodsky.

Principe

La cohomologie motivique doit être la théorie de cohomologie universelle pour les motifs purs : elle encode les cycles et leurs relations, s'insère dans des suites exactes longues et se connecte aux autres cohomologies (étale, de Rham, Betti) via des applications régulatrices et de classes de cycles, compatibles avec la fonctorialité et les filtrations par les poids.

Démonstration

Pour un schéma lisse X, les groupes de Chow supérieurs de Bloch CH^{q}(X,2q-p) fournissent des modèles concrets de H^{p,q}_mot(X) dans de nombreux cas ; ces groupes sont liés aux gradués de la K-théorie et réalisent les applications régulatrices vers la cohomologie de Deligne ou l-adique.

Mauvaise application

Considérer la cohomologie motivique comme entièrement construite et calculable dans tous les cas ou confondre les groupes de cohomologie motivique avec la cohomologie ordinaire sans tenir compte de leur bi-degré et de leur origine liée aux cycles.

Conséquence

Une théorie correcte de la cohomologie motivique unifierait les cycles algébriques, les valeurs spéciales de fonctions L via des régulateurs, et les gradués de la K-théorie, fournissant une source universelle pour les applications de comparaison et des suites exactes prédites dans la théorie des motifs.

Inversion

Les théories de cohomologie classiques (singulière, de Rham, étale) calculent des invariants analytiques ou arithmétiques mais n'encodent pas directement l'information universelle propre aux cycles attendue de la cohomologie motivique ; les motifs visent à se situer au-dessus et à se projeter vers ces théories classiques.

Limite

Partiellement construite : des réalisations concrètes existent (groupes de Chow supérieurs, complexes motiviques) dans de nombreux cadres, mais la fonctorialité complète, l'intégralité et la relation aux motifs mixtes restent incomplètes en général ; l'application concerne surtout des schémas de type fini sur des bases raisonnables.

Tension sémantique

Cohomologie motivique versus groupes de Chow supérieurs ou K-théorie : les groupes de Chow supérieurs fournissent des modèles mais n'épuisent pas l'explication conceptuelle motivique ; tension entre définitions concrètes liées aux cycles et formulations abstraites motiviques ou homotopiques.

Synthèse

La cohomologie motivique est la cohomologie bigraduée universelle envisagée mesurant les cycles algébriques et leurs relations, partiellement réalisée par les groupes de Chow supérieurs et les complexes motiviques, servant de domaine aux régulateurs reliant les cycles aux cohomologies classiques et à la K-théorie.