Une paire (D^{≤0}, D^{≥0}) de sous-catégories pleines d'une catégorie triangulée D, stables par décalage et extensions, dont l'intersection (le cœur) est une catégorie abélienne ; les t-structures organisent les troncations cohomologiques et définissent des foncteurs de cohomologie H^i.

Principe

Les objets sont filtrés par degrés cohomologiques : tout objet s'insère dans un triangle distingué reliant ses troncations, et les sous-catégories satisfont des axiomes d'orthogonalité et de stabilité par décalage qui garantissent l'existence de foncteurs de troncation cohérents.

Démonstration

Sur la catégorie dérivée D^b(A) d'une catégorie abélienne A, la t-structure standard a D^{≤0} les complexes à cohomologie nulle en degrés positifs et D^{≥0} ceux à cohomologie nulle en degrés négatifs ; son cœur est équivalent à A.

Mauvaise application

Considérer le cœur comme équivalent à la totalité de la catégorie triangulée ou supposer qu'une t-structure est unique ; utiliser des foncteurs de troncation sans vérifier l'orthogonalité requise et la fermeture par extensions.

Conséquence

Une t-structure fournit des foncteurs de cohomologie canoniques, des cœurs abéliens adaptés à l'algèbre homologique, des suites spectrales issues de filtrations, et un pont entre catégories triangulées et abéliennes.

Inversion

Une structure de poids (co-t-structure) inverse les axes de troncation : son cœur se comporte comme la catégorie des 'poids' purs plutôt que des degrés cohomologiques, produisant des filtrations et des conditions d'orthogonalité différentes.

Limite

S'applique uniquement aux catégories triangulées satisfaisant les propriétés de fermeture et d'orthogonalité nécessaires ; toutes les catégories triangulées n'admettent pas de t-structure, et les t-structures sont des choix supplémentaires, non des invariants intrinsèques.

Tension sémantique

T-structure versus structure de poids : les deux donnent des cœurs et des filtrations mais encodent des philosophies de graduation différentes (degré cohomologique vs poids) ; on confond aussi parfois le cœur abstrait et des catégories abéliennes concrètes de faisceaux ou de modules.

Synthèse

Une t-structure est une structure additionnelle sur une catégorie triangulée qui découpe les objets en moitiés cohomologiques dont l'intersection est un cœur abélien, permettant la troncation, la cohomologie et le transfert de techniques homologiques.