Un objet du cœur de la t-structure de perversité moyenne sur la catégorie dérivée des faisceaux constructibles (ou analogues ℓ-adiques/complexes analytiques) satisfaisant des conditions d'annulation de cohomologie de support et de cosupport relatives à une stratification ; les faisceaux pervers codent les données locales de singularité et les phénomènes de dimension intermédiaire.

Principe

Les conditions de perversité sont des inégalités sur l'annulation de la cohomologie des fibres (stalks) et des cofibres (costalks) mesurées par la codimension des strates : grossièrement, la cohomologie des stalks s'annule au-dessus d'un degré déterminé par la dimension du support et les costalks s'annulent en dessous de degrés complémentaires, produisant une catégorie abélienne autoduale.

Démonstration

Le complexe de cohomologie d'intersection IC_X sur une variété stratifiée singulière X est un exemple fondamental : IC_X est pervers et son hypercohomologie calcule les groupes de cohomologie d'intersection étendant les propriétés de dualité de Poincaré aux espaces singuliers.

Mauvaise application

Qualifier tout faisceau décalé de 'pervers' sans vérifier les inégalités de support/cosupport ou la constructibilité, ou supposer que les faisceaux pervers sont concentrés dans un seul degré au sens classique ; négliger la monodromie ou la torsion des coefficients induit aussi des erreurs.

Conséquence

Les faisceaux pervers forment une catégorie abélienne stable par opérations usuelles (cycles proches, images directes pour des morphismes propres, dualité de Verdier) et sont au cœur de résultats profonds comme le théorème de décomposition, offrant des paquets algébriques codant l'information géométrique et topologique des singularités.

Inversion

Par opposition aux faisceaux ordinaires concentrés dans un degré unique, les faisceaux pervers sont des complexes dont la 'degré pervers' recentre la cohomologie en dimensions intermédiaires ; l'inversion souligne que la perversité décale la concentration cohomologique pour refléter la géométrie singulière.

Limite

Défini dans des cadres disposant d'une notion de constructibilité et d'une stratification appropriée (algébrique complexe, analytique ou étale ℓ-adique) et dépendant du choix de perversité (la perversité moyenne étant la standard) ; hors des cadres constructibles/de type fini la notion peut échouer ou demander une adaptation.

Tension sémantique

Une tension existe entre différentes perversités, entre faisceaux pervers et faisceaux (cohomologiques) ordinaires, et entre réalisations algébrique, analytique et ℓ-adique ; cycles proches et évanescents interagissent subtilement avec la perversité et peuvent déplacer les degrés pervers.

Synthèse

Un faisceau pervers est un complexe constructible satisfaisant des inégalités précises de support et de cosupport qui placent sa cohomologie en dimensions intermédiaires par rapport à une stratification, formant une catégorie abélienne autoduale codant les phénomènes de singularité et la cohomologie d'intersection.