Un théorème reliant la poussée directe en K-théorie à la poussée directe en (groupes de Chow ou cohomologie) par des transformations de classes caractéristiques : en gros ch(f_!(α)) = f_*(ch(α) · td(T_f)), où ch est le caractère de Chern, td la classe de Todd du tangent relatif et f_! la poussée en K-théorie.

Principe

Les classes caractéristiques convertissent des données multiplicatives de la K-théorie en données additives cohomologiques ; la formule exprime comment le caractère de Chern entremêle l'image directe en K-théorie avec l'image directe cohomologique après correction par la classe de Todd du fibré tangent virtuel du morphisme.

Démonstration

Pour un morphisme propre f d'une courbe projective lisse X vers un point, la GRR appliquée à O_X donne la formule classique de Riemann-Roch : χ(O_X) = ∫_X td(T_X), et pour un fibré vectoriel E sur X elle calcule degrés et caractères d'Euler via ch(E) · td(X).

Mauvaise application

Employer la formule sans tenir compte du tangent virtuel ou des singularités, l'utiliser là où il n'existe pas de poussée en K-théorie bien définie, ou négliger la nécessité de coefficients rationnels (le caractère de Chern exige souvent des Q-coefficients) conduit à des erreurs.

Conséquence

Permet le calcul d'invariants numériques (caractères d'Euler, degrés, nombres d'intersection) à partir de classes en K-théorie et établit la compatibilité entre invariants énumératifs en K-théorie et en cohomologie ; oriente les calculs en théorie des modules et en théorèmes d'indice.

Inversion

On peut voir la GRR inversement comme une recette pour reconstruire des poussées en K-théorie à partir de données cohomologiques en inversant caractère de Chern et corrections de Todd en contexte rationnel, bien que le torsion perdue empêche une inversion intégrale littérale.

Limite

Formulée pour des morphismes propres entre schémas ou variétés complexes avec des hypothèses de finitude suffisantes (la lissité simplifie les formules) ; elle est généralement énoncée après tensorisation par Q (ou en cohomologie/Chow rationnels) ; nécessite une notion de poussée en K-théorie et de classes de Chern/Todd dans les catégories considérées.

Tension sémantique

Une tension existe entre la GRR algébrique, les théorèmes d'indice topologiques (Atiyah-Singer) et les versions localisées/virtuelles (tangents virtuels en théorie d'intersection) : le schéma central est commun mais les hypothèses techniques et interprétations diffèrent.

Synthèse

La formule de Grothendieck-Riemann-Roch traduit les poussées en K-théorie en poussées cohomologiques via le caractère de Chern et la classe de Todd, fournissant un pont puissant pour calculer caractères d'Euler et nombres d'intersection dans des cadres algébriques et topologiques.