Un formalisme dans la catégorie dérivée (et dans les contextes cohérents/compacts) décrivant une dualité entre les foncteurs de poussée directe et de pullback extraordinaire : pour un morphisme convenable de type fini f, il existe une adjonction entre Rf_* et f^! mise en œuvre par un complexe dualisant relatif, généralisant la dualité de Serre et celle de Verdier.

Principe

L'existence d'un complexe dualisant ω_f et l'adjonction fonctorielle Rf_* RHom(–, f^!O_Y) ≅ RHom(Rf_*(–), O_Y) encapsulent la transformation de la cohomologie (à support compact ou cohérente) par des morphismes propres ; les hypothèses de cohérence et de finitude garantissent la compatibilité et la bornitude des foncteurs dérivés concernés.

Démonstration

Pour un morphisme propre et lisse f : X → Y de dimension relative d entre variétés projectives lisses, on a f^!O_Y ≅ ω_{X/Y}[d], et la dualité de Grothendieck retrouve la dualité de Serre sur les fibres ainsi que les adjonctions globales entre Rf_* et f^! pour les faisceaux cohérents.

Mauvaise application

Considérer la dualité comme une égalité de poussées naïves sans prendre en compte le contexte dérivé ou les décalages du complexe dualisant, l'appliquer sans hypothèses de finitude/propreté ou négliger la cohérence conduit à des énoncés erronés.

Conséquence

Fournit un instrument conceptuel et calculatoire pour transférer des données cohomologiques le long de morphismes, produit des applications trace et des couplages de dualité, et sous-tend des résultats de changement de base et de compatibilité utilisés en théorie des déformations et en intersection.

Inversion

Inverser la perspective met en avant f^! comme la façon 'correcte' de remonter les données dualisantes : tandis que le pullback ordinaire f^* est adjoint à gauche de Rf_*, le pullback extraordinaire f^! est adjoint à droite une fois la dualité appliquée, révélant deux perspectives duales sur poussées et tirés en arrière.

Limite

Valable sous des hypothèses telles que la propreté, la dimension de Tor finie, ou plus généralement pour des morphismes séparés de type fini entre schémas noethériens munis de complexes dualisants cohérents ; il faut ajuster les énoncés pour des contextes non-noethériens, de type infini ou pour des champs pathologiques.

Tension sémantique

La tension existe entre la dualité de Grothendieck, la dualité de Serre (cas particulier sur variétés projectives lisses) et la dualité de Verdier (pour les faisceaux constructibles) : elles partagent un schéma commun mais diffèrent par les hypothèses, les catégories et la nature des objets dualisants.

Synthèse

La dualité de Grothendieck organise une adjonction dérivée médiée par un complexe dualisant qui généralise les dualités de Serre et de Verdier, fournissant des applications trace et un cadre structuré pour comprendre la transformation de la cohomologie par des morphismes propres et de type fini.