Une construction simpliciale ou de niveau chaîne standard qui produit une résolution d'une algèbre associative augmentée ou d'un module, encode les extensions et permet de calculer des foncteurs dérivés tels que Tor et l'homologie de Hochschild.

Principe

Construire un complexe de chaînes explicite dont les faces et dégénérescences reflètent la concaténation et l'augmentation de sorte que l'homologie du complexe calcule les extensions algébriques et les invariants dérivés.

Démonstration

Pour une algèbre associative augmentée A et un A-module à droite M et un A-module à gauche N, le complexe bar bilatéral B(M,A,N) a en degré n le terme M ⊗ A^{⊗n} ⊗ N et une différentielle définie par la multiplication et l'augmentation ; son homologie calcule Tor^A_*(M,N).

Mauvaise application

Appliquer la construction bar classique sans modification sur un objet dépourvu d'augmentation ou possédant un produit non associatif : on obtient un complexe dont l'homologie ne reflète plus les foncteurs dérivés recherchés.

Conséquence

Bien appliquée, la construction bar fournit des résolutions projectives (ou libres) explicites, facilite le calcul concret de Tor et de l'homologie de Hochschild, et met en évidence les classes d'extension supérieures et les opérations de type Massey.

Inversion

Dualiser la construction bar (passer aux complexes Hom ou aux duals linéaires) conduit à des modèles de cochaînes comme la construction cobar ou aux calculs d'Ext plutôt qu'à ceux de Tor.

Limite

S'applique aux algèbres associatives augmentées, aux modules et aux monoïdes dans des catégories monoïdales disposant d'assez de projectifs ou d'une structure de modèles choisie ; exclut l'utilisation naïve pour des multiplications non associatives ou sans tenir compte des complétions pour des puissances tensorielles infinies.

Tension sémantique

Tension entre la construction bar comme résolution concrète et combinatoire et les résolutions homotopiques abstraites issues des remplacements cofibrants en théorie des modèles ; toutes deux codent l'information dérivée mais diffèrent par la concrétude et la fonctorialité.

Synthèse

La construction bar est une recette simpliciale/chaîne explicite qui résout des structures associatives augmentées, transformant multiplication et augmentation en un complexe dont l'homologie calcule des invariants d'extension tels que Tor et l'homologie de Hochschild.