Un foncteur F : C → D est une équivalence de catégories s'il est pleinement fidèle (induit des bijections sur les hom-ensembles) et essentiellement surjectif (tout objet de D est isomorphe à F(c) pour quelque c dans C) ; l'équivalence identifie les catégories à isomorphisme d'objets près plutôt qu'à égalité stricte.

Principe

L'équivalence traduit l'idée de « même structure mathématique » à isomorphisme cohérent près : les invariants et constructions invariants par isomorphisme coïncident entre catégories équivalentes.

Démonstration

Exemple : l'inclusion d'un skeleton (sous-catégorie pleine contenant un représentant par classe d'isomorphisme) dans une catégorie est une équivalence ; la catégorie des ensembles finis est équivalente à son skeleton dont les objets sont les entiers naturels (cardinalités).

Mauvaise application

Considérer des catégories équivalentes comme strictement égales en tant qu'ensembles d'objets et de morphismes, ou s'attendre à ce qu'une équivalence préserve des constructions de façon stricte plutôt qu'à isomorphisme ; confondre équivalence et adjonction plus faible.

Conséquence

Les propriétés et invariants définis à isomorphisme près (par exemple la représentabilité, l'existence de limites à isomorphisme près, les invariants dérivés) sont préservés par une équivalence ; les constructions se transportent sans perte d'information essentielle.

Inversion

En contraste, un foncteur pleinement fidèle mais non essentiellement surjectif, ou essentiellement surjectif mais non pleinement fidèle, ne donne pas d'équivalence : aucun des deux ne garantit la préservation de toutes les données invariantes par iso.

Limite

L'équivalence suppose des catégories avec isomorphismes et fait abstraction des choix de petite taille ou des skeletons ; elle n'affirme pas une égalité point par point des objets, et des structures plus fines (limites choisies, enrichissements stricts) peuvent ne pas se transporter sans données supplémentaires.

Tension sémantique

L'équivalence se situe entre l'isomorphisme de catégories (notion plus stricte nécessitant un inverse strict) et des correspondances plus faibles (comme les adjonctions) ; la tension pratique apparaît quand on exige des égalités strictes plutôt que des classes d'isomorphisme.

Synthèse

L'équivalence de catégories formalise quand deux structures catégorielles codent la même théorie à isomorphisme près : un foncteur pleinement fidèle et essentiellement surjectif permet de transporter les constructions invariantes par iso et d'identifier les catégories comme équivalentes pour la plupart des usages mathématiques.