Une décomposition de la cohomologie complexe d’un objet géométrique adéquat (classiquement une variété kählérienne compacte ou une variété projective lisse) en somme directe de composantes H^{p,q}, H^n(X,ℂ) = ⊕_{p+q=n} H^{p,q}(X), compatible avec la conjugaison complexe et reliant invariants analytiques (Dolbeault), algébriques et topologiques par des représentants harmoniques et la filtration de Hodge.

Principe

La théorie de Hodge elliptique et le lemme ∂∂̄ produisent des formes harmoniques représentant les classes de cohomologie ; la décomposition provient de la théorie de Hodge (formes harmoniques de type (p,q)) et engendre la filtration de Hodge dont les gradués successifs recouvrent H^{p,q}.

Démonstration

Exemple : pour une surface kählérienne compacte S, H^1(S,ℂ) se décompose en H^{1,0}⊕H^{0,1} avec H^{1,0} l’espace des formes holomorphes de degré un ; pour une courbe projective lisse ce déduit la scission classique de H^1 en parties holomorphe et antiholomorphe et gouverne la géométrie Jacobienne.

Mauvaise application

Supposer l’existence d’une décomposition de Hodge pour toute variété complexe ou pour des espaces non compacts, non kählériens ; négliger que les variétés singulières requièrent des structures de Hodge mixtes plutôt que des décompositions pures, ou ignorer des phénomènes de torsion en cohomologie entière.

Conséquence

Impose de fortes contraintes sur les nombres de Betti via les nombres de Hodge, commande des invariants géométriques (périodes, Jacobiennes intermédiaires), fonde la théorie de Hodge, les variations de structures de Hodge et relie cycles algébriques et informations transcendantales par les classes de Hodge.

Inversion

Remplacer la décomposition pure de Hodge par la filtration de Hodge ou par des structures de Hodge mixtes donne la perspective inverse lorsque la pureté échoue : la filtration encodé la même information sans scission directe, et les structures mixtes enregistrent des filtrations par poids pour les variétés singulières ou non compactes.

Limite

Valable comme décomposition pure pour les variétés kählériennes compactes et les variétés projectives lisses ; hors de ce cadre il faut recourir à la filtration de Hodge, à la suite spectrale de Frölicher ou à la théorie de Hodge mixte pour variétés singulières/non compactes/dégénérées où la décomposition pure peut échouer.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la décomposition de Hodge et la sémantique de la cohomologie de Dolbeault : Dolbeault calcule H^{p,q} en cas kählérien mais peut diverger en général ; comparée aux décompositions purement topologiques (qui ne portent pas de type), la décomposition de Hodge raffine la topologie par des types dépendant de la structure complexe.

Synthèse

La décomposition de Hodge exprime la cohomologie complexe comme somme directe de pièces de type (p,q) fournies par des représentants harmoniques sur des espaces kählériens ou projectifs, établissant un pont puissant entre formes différentielles analytiques, géométrie algébrique et invariants topologiques tout en admettant des généralisations filtrées ou mixtes lorsque la pureté disparaît.