Un théorème de dualité pour les espaces algébriques ou analytiques propres et lisses de dimension n, fournissant un appariement parfait naturel entre la cohomologie d’un faisceau cohérent et la cohomologie de son dual tordu par le faisceau canonique (faisceau dualisant), souvent formulé H^i(X,F) ≅ Hom(H^{n-i}(X, ω_X ⊗ F^∨), k)^* ou H^i(X,F)^* ≅ H^{n-i}(X, ω_X ⊗ F^∨).

Principe

Existence d’un faisceau dualisant ω_X et d’une application trace (ou appariement de Serre) ; la cohomologie cohérente en degrés complémentaires s’apparie dans la cohomologie de plus haut degré puis dans le corps de base via la trace, donnant un isomorphisme de dualité sous les hypothèses de propreté et de lissité.

Démonstration

Exemple : pour une courbe projective lisse C de genre g, la dualité de Serre donne H^0(C,L)^* ≅ H^1(C, ω_C ⊗ L^∨), de sorte que les sections d’un fibré en droites sont duales à la cohomologie en degré un avec la torsion canonique ; cela sous-tend les calculs classiques de Riemann–Roch.

Mauvaise application

Appliquer la dualité de Serre sur des espaces non propres ou très singuliers sans un complexe dualisant bien comporté, ou ignorer les conditions de cohérence nécessaires ; traiter le faisceau dualisant comme trivial là où il n’est pas globalement défini ou inversible.

Conséquence

Permet des compteurs de dimensions et des dualités dans les calculs cohomologiques, fonde Riemann–Roch et les théorèmes d’annulation, et fournit des foncteurs de Serre dans les catégories dérivées qui identifient adjoints et autéquivalences.

Inversion

La dualité de Verdier généralise la dualité de Serre aux catégories dérivées et aux contextes éventuellement singuliers ou non compacts en remplaçant la cohomologie cohérente par les images directes dérivées et en utilisant le complexe dualisant ; inversement, la dualité de Serre est la spécialisation au cas cohérent, lisse et propre de Verdier.

Limite

Exige la propreté et la lissité (ou du moins un complexe dualisant bien compris) et des faisceaux cohérents ; échoue en général pour les espaces non propres, les coefficients non cohérents ou lorsque les singularités empêchent une description simple du faisceau dualisant.

Tension sémantique

Souvent mise en regard avec la dualité de Poincaré en topologie : les deux appariement des degrés complémentaires, mais la dualité de Serre utilise le faisceau dualisant algébrique/analytique et la cohomologie cohérente plutôt que la cohomologie singulière et les classes d’orientation.

Synthèse

La dualité de Serre identifie des groupes de cohomologie en degrés complémentaires via le faisceau dualisant et une application trace, transformant des données canoniques géométriques en dualités algébriques qui alimentent formules de dimension et foncteurs de Serre en catégorie dérivée.