Une relation reliant des données de représentation de groupes finis pour certaines actions linéaires (notamment les sous-groupes finis de SL(2,C)) aux invariants géométriques des singularités quotient et de leurs résolutions, réalisée souvent en identifiant le graphe des représentations au graphe d'intersection ou de type Dynkin et étendue aux catégories dérivées et contextes issus de la théorie des cordes.

Principe

La symétrie discrète d'une action linéaire se reflète dans la géométrie du quotient : les représentations irréductibles et leurs relations tensoriales produisent un graphe combinatoire (le graphe de McKay) qui correspond à la configuration des cycles exceptionnels ou des diagrammes de Dynkin apparaissant dans les résolutions minimales/crepantes de la singularité.

Démonstration

Pour un sous-groupe fini G ⊂ SL(2,C), le graphe de McKay construit à partir de l'anneau des représentations est le diagramme de Dynkin affine ADE associé à la résolution minimale de C^2/G ; les nœuds correspondent aux représentations irréductibles et aux courbes exceptionnelles, et l'adjacence encode le produit tensoriel avec la représentation standard de dimension 2.

Mauvaise application

Appliquer naïvement le dictionnaire bidimensionnel de McKay en dimensions supérieures ou pour des groupes ne satisfaisant pas les hypothèses déterminant/crepantes sans recourir aux catégories dérivées, aux champs ou à des hypothèses supplémentaires conduit à des identifications erronées entre représentations et caractéristiques géométriques.

Conséquence

Correctement appliquée, la correspondance relie la théorie des représentations à la géométrie : elle prédit les patrons d'intersection des diviseurs exceptionnels, guide la construction de résolutions et d'équivalences de catégories dérivées, et éclaire des invariants comme la cohomologie d'orbifold et les nombres de Hodge 'stringy'.

Inversion

Plutôt que de partir d'un groupe et prédire la géométrie, on peut commencer par la géométrie d'une résolution et retrouver des contraintes sur les groupes de symétrie possibles ; l'inversion met l'accent sur la reconstruction de données groupales à partir d'invariants géométriques.

Limite

Le McKay classique concerne les sous-groupes finis de SL(2,C) ; les généralisations en dimension supérieure exigent des résolutions crepantes, des surcroîts en catégories dérivées ou des formulations en termes de champs et peuvent échouer ou nécessiter des modifications si ces structures sont absentes.

Tension sémantique

Tension entre l'identification combinatoire ADE d'origine en dimension deux et les généralisations dérivées/crepantes plus larges : le dictionnaire simple nœud↔courbe concurrence des équivalences dérivées plus sophistiquées et des invariants purement représentationnels comme les tables de caractères.

Synthèse

La correspondance de McKay relie les données de représentation d'un groupe fini à la géométrie des singularités quotient : dans sa forme classique le graphe de McKay reproduit les diagrammes de Dynkin des résolutions, et dans ses formes étendues il établit des équivalences profondes entre théorie des représentations, géométrie et invariants homologiques.