Un vaste ensemble de conjectures et de théorèmes proposant des correspondances profondes entre représentations automorphes (objets analytiques sur des groupes réductifs sur corps globaux ou locaux) et données arithmétiques/galoisiennes (par exemple des représentations galoisiennes de dimension n), organisées en cas locaux et globaux et guidées par le principe de fonctorialité.

Principe

Réciprocité et fonctorialité : les données spectrales/analytique issues des formes automorphes correspondent à des représentations arithmétiques des groupes de Galois, et les transferts entre groupes se reflètent par des transferts de fonctions L et de facteurs locaux, formant un principe unificateur entre théorie des nombres et analyse harmonique.

Démonstration

La théorie du corps de classes réalise la correspondance de Langlands pour GL(1) : les caractères du groupe des idèles correspondent aux représentations galoisiennes de dimension un. Le théorème de modularité (cas GL(2)) relie les courbes elliptiques sur Q aux formes modulaires et à leurs représentations automorphes.

Mauvaise application

Traiter les conjectures générales de Langlands comme prouvées dans leur globalité, ou mal identifier les composantes locales et le comportement de ramification en tentant des appariements explicites, mène à des conclusions erronées ; confondre aussi les variantes géométriques et arithmétiques sans noter les distinctions provoque des erreurs.

Conséquence

Là où elle est établie, la correspondance fournit des traductions puissantes : des méthodes automorphes produisent des résultats arithmétiques (p. ex. informations sur les représentations galoisiennes, les valeurs L et les lois de réciprocité), et des entrées arithmétiques éclairent des propriétés analytiques comme les équations fonctionnelles et les décompositions spectrales.

Inversion

On peut voir la correspondance soit comme l'attribution de paramètres arithmétiques (galoisiens) aux représentations automorphes, soit comme la construction d'objets automorphes prédits par des propriétés arithmétiques ; inverser la perspective met l'accent sur la primauté spectrale ou arithmétique.

Limite

Le programme de Langlands est en grande partie conjectural dans de nombreux cadres ; des cas prouvés comprennent les correspondances locales et globales pour GL_n sur corps de nombres et de fonctions et plusieurs instances pour groupes classiques, mais la fonctorialité générale et les énoncés de réciprocité restent ouverts dans leur généralité.

Tension sémantique

Des tensions existent entre la correspondance classique (arithmétique), le programme de Langlands géométrique (algébro-géométrique et catégoriel) et les lois de réciprocité spécialisées ; le terme « Langlands » couvre donc plusieurs cadres apparentés mais distincts.

Synthèse

La correspondance de Langlands postule une grande dualité traduisant les données analytiques automorphes en données arithmétiques galoisiennes et réciproquement, organisée par la fonctorialité et la réciprocité : elle constitue une architecture conjecturale unificatrice reliant analyse harmonique, théorie des représentations et théorie des nombres.