Une relation d'équivalence entre anneaux (ou algèbres) affirmant que leurs catégories de modules (typiquement modules à gauche) sont équivalentes en tant que catégories abéliennes par des foncteurs exacts préservant les sommes directes ; deux anneaux sont équivalents au sens de Morita lorsque leur théorie de la représentation par modules est la même.

Principe

L'identité en termes de représentations se capture au niveau catégorique : si les catégories de modules sont équivalentes, alors les phénomènes liés aux modules (projectivité, décompositions en sommes directes, nombreuses invariants homologiques) sont indiscernables entre les anneaux, même si les anneaux eux‑mêmes ne sont pas isomorphes.

Démonstration

L'exemple classique est R et l'anneau de matrices M_n(R) : les catégories des modules à gauche sur R et sur M_n(R) sont équivalentes via la correspondance qui envoie un R-module M sur le M_n(R)-module R^n ⊗_R M ; un bimodule progénérateur réalise l'équivalence.

Mauvaise application

Conclure que des anneaux Morita-équivalents sont isomorphes en tant qu'anneaux, ou appliquer l'équivalence de Morita sans vérifier les conditions d'unité ou de finitude (par exemple pour des anneaux sans unité), déforme la relation et peut confondre des invariants algébriques distincts.

Conséquence

Bien utilisée, l'équivalence de Morita permet de transférer des résultats sur les modules, de conserver des invariants sous équivalence et de remplacer un anneau compliqué par un équivalent Morita plus commode pour le calcul ou la classification.

Inversion

La perspective inverse considère l'isomorphisme d'anneaux comme plus fort que l'équivalence de Morita : l'isomorphisme implique une équivalence catégorique mais pas réciproquement, ce qui souligne la différence entre identité algébrique et similitude en représentation.

Limite

S'applique aux anneaux unitaires et aux catégories de modules correctement définies ; elle ne s'applique pas automatiquement aux anneaux sans unité, aux catégories de comodules, ni aux invariants purement propres à l'anneau qui ne se reflètent pas dans les catégories de modules sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Se situe face à d'autres notions d'équivalence comme l'équivalence dérivée ou les équivalences de type Morita en milieux triangulés ; l'équivalence de Morita est plus stricte que la simple équivalence dérivée dans certains contextes et plus faible que l'isomorphisme d'anneaux.

Synthèse

L'équivalence de Morita dit quand deux objets algébriques partagent le même monde de modules : par des équivalences de catégories de modules mises en œuvre par des bimodules ou foncteurs appropriés, la théorie des représentations devient l'invariant central plutôt que l'anneau sous-jacent.