Un schéma qui ne satisfait pas l'axiome de séparation : la diagonale Δ : X → X×_S X n'est pas une immersion fermée (ou équivalente non propre/fermée), de sorte que des points ou morphismes qui seraient uniques dans un cadre séparé peuvent perdre cette unicité. Les schémas non séparés montrent des pathologies de collage comme des origines dupliquées ou l'échec d'unicité des limites.

Principe

La séparation formalise un analogue algébrique de la propriété de Hausdorff : la diagonale immersion fermée garantit que deux morphismes sur S qui coïncident sur un ouvert dense sont identiques, et assure des propriétés d'unicité pour les limites et le critère valuatif. L'échec traduit un collage excessif des morceaux locaux.

Démonstration

Exemple classique : la droite affine à origine doublée obtenue en recollant deux copies de A^1 le long de A^1 \\{0} donne un schéma non séparé : les deux origines ne peuvent être séparées par des voisinages ouverts disjoints et deux sections peuvent coïncider hors de l'origine mais différer en elle. Cela donne un échec explicite d'unicité pour les morphismes depuis des anneaux de valuation.

Mauvaise application

Confondre non-séparé avec non-propre ou non-Hausdorff au sens analytique ; 'non séparé' est une condition algébrique précise sur la diagonale et n'implique pas ou n'exclut pas d'autres pathologies comme la non-réductivité. Traiter des constructions qui demandent implicitement la séparation (foncteurs de Picard, modules) sans vérification peut mener à des erreurs.

Conséquence

Les schémas non séparés rompent l'unicité du critère valuatif, compliquent les interprétations modulaires, produisent des limites non uniques et peuvent empêcher la représentabilité de foncteurs (par ex. Picard, Hom). Ils obligent à la prudence dans la descente et pour former des quotients ou des recollements.

Inversion

Un schéma séparé possède une diagonale fermée : points et morphismes satisfont les propriétés d'unicité attendues, les limites sont uniques quand elles existent, et beaucoup d'énoncés de représentabilité et de descente se simplifient et tiennent sous des hypothèses standard.

Limite

La séparation est une condition sur les morphismes de schémas relativement à une base S ; la non-séparation est généralement pathologique pour la théorie des modules et les constructions géométriques, mais peut apparaître naturellement lors d'étapes intermédiaires de recollement. Les espaces algébriques et les champs ont leurs propres notions de séparation ; la non-séparation pour les schémas doit être distinguée des phénomènes topologiques non Hausdorff de la topologie sous-jacente.

Tension sémantique

La tension provient de l'intuition géométrique de 'séparation' (de type Hausdorff) et de la formulation catégorique (diagonale comme immersion fermée). On confond parfois des exemples topologiques non Hausdorff avec la non-séparation algébrique ou inversement ; le critère de la diagonale schématique est le contrôle autoritatif.

Synthèse

Un Schéma Non Séparé est un schéma dont la diagonale schématique n'est pas une immersion fermée, traduisant un collage excessif des morceaux locaux qui détruit l'unicité des morphismes et des limites. La condition se réalise concrètement (origine doublée) et a des conséquences significatives pour les modules, la descente et la représentabilité.