Une fibre d'un morphisme de schémas (ou un membre d'une famille) dont les anneaux locaux ne sont pas réduits, c'est‑à‑dire contenant des éléments nilpotents non nuls. L'espace topologique sous-jacent peut coïncider avec celui de la fibre réduite alors que schématiquement la fibre porte une épaisseur multiplicité ou une structure nilpotente intégrée.

Principe

La non‑réduction signale une épaisseur infinitésimale cachée : géométriquement elle enregistre des multiplicités, des directions nilpotentes ou l'échec d'être réduit. Elle apparaît souvent par défaut de platitude, à la spécialisation en paramètres singuliers, ou par torsion dans le faisceau structural.

Démonstration

Exemple simple : la famille Spec(k[ε]/(ε^2)) sur Spec k a une unique fibre non réduite d'anneau de coordonnées k[ε]/(ε^2). Des exemples plus géométriques surviennent quand une famille plate dégénère et que la fibre spéciale acquiert une structure nilpotente intégrée (par exemple une structure double sur un diviseur).

Mauvaise application

Traiter une fibre non réduite comme une variété réduite (par exemple n'utiliser que ses points topologiques ou négliger la multiplicité) conduit à des comptages incorrects (multiplicité d'intersection) et à de mauvaises conclusions en théorie des déformations. Ignorer la non‑réduction en vérifiant la lissité ou en appliquant le changement de base cohomologique est une autre erreur fréquente.

Conséquence

Reconnaître des fibres non réduites impose de travailler schématiquement : consignation des multiplicités, recours à des méthodes dérivées ou infinitésimales, vérification de la platitude et de la formation des Tor supérieurs, ou passage aux réduits ou complétés. Les invariants arithmétiques et géométriques (multiplicités d'intersection, cycles de vanishing) en sont affectés et doivent se calculer en tenant compte de la structure non réduite.

Inversion

Fibre réduite : les anneaux locaux n'ont pas de nilpotents et le schéma coïncide avec son réduit ; de nombreuses intuitions géométriques classiques (lissité, comptages transverses) sont valides. Dans le cas inversé on peut appliquer des outils géométriques et cohomologiques plus simples.

Limite

La notion est schématique : sur corps une fibre non réduite se voit dans les anneaux de coordonnées, mais sur bases générales il faut considérer les nilpotents du faisceau structural, la torsion et les hypothèses de platitude. La non‑réduction est distincte de la singularité : une fibre peut être réduite mais singulière, et des fibres non réduites peuvent apparaître même si le lieu réduit sous‑jacent est lisse.

Tension sémantique

Il existe une tension entre le point de vue topologique (points et support réduit) et le point de vue schématique (nilpotents et structure infinitésimale). On confond parfois la non‑réduction avec un dysfonctionnement général, alors qu'elle décrit précisément une épaisseur infinitésimale plutôt qu'une simple singularité.

Synthèse

Une Fibre Non Réduite est une fibre au sens schématique portant une structure nilpotente ; elle encode des multiplicités et directions infinitésimales qui affectent la théorie des déformations, l'intersection et le comportement cohomologique. La prise en charge correcte exige des techniques schématiques—vérifier la platitude, suivre la torsion, recourir aux réduits ou aux outils dérivés—plutôt que de s'en tenir au seul ensemble sous‑jacent réduit.