Le sous‑ensemble d'un espace de paramètres (ou de modules) où la dimension d'un groupe de cohomologie donné des fibres augmente de façon discontinue par rapport à la fibre générale ; des lieux où la cohomologie « saute » signalant des caractéristiques géométriques ou algébriques particulières.

Principe

La semi‑continuité supérieure des dimensions de cohomologie sous des hypothèses raisonnables assure que les lieux de dimension plus grande sont fermés (ou constructibles) et que les sauts traduisent un échec de l'annulation générique, des dégénérescences de platitude, ou l'apparition de nouvelles sections globales ou classes d'extension.

Démonstration

Dans une famille plate de faisceaux cohérents sur un schéma, les points où H^i de la fibre a une dimension strictement plus grande que celle d'un point général voisin forment le locus de saut de cohomologie. Par exemple, des fibrés en droites sur des courbes peuvent acquérir des H^0 supplémentaires en des points spéciaux du paramètre, produisant des lieux de type Brill‑Noether.

Mauvaise application

Déduire une singularité sévère ou la non‑platitude de toute la famille uniquement à partir d'un saut de cohomologie en paramètres isolés néglige des possibilités comme des fibres spéciales avec automorphismes supplémentaires, torsion, ou sections globales accidentelles ; le saut doit être interprété avec des données auxiliaires.

Conséquence

Identifier des loci de saut fournit des stratifications des espaces de paramètres, informe les conditions de stabilité, contrôle la théorie des déformations et localise où apparaissent des structures géométriques supplémentaires ou des classes d'extension ; il guide la construction de murs et chambres en problèmes de modules.

Inversion

Hors du locus de saut, les dimensions de cohomologie sont minimales et se comportent de manière prévisible (souvent constantes dans des familles satisfaisant la platitude), de sorte que les points génériques n'affichent pas de saut et un comportement géométrique plus simple prévaut.

Limite

Ce concept nécessite une famille paramétrée avec cohomologie fibre‑à‑fibre bien définie (schémas, variétés complexes, faisceaux) et ne s'applique pas à invariants de cohomologie isolés dépourvus d'espace de paramètres. Il exclut les variations de codimension zéro triviales où la dimension est constante.

Tension sémantique

Le terme est en tension avec les « phénomènes de spécialisation » plus généraux : les loci de saut isolent des augmentations discrètes de la dimension de cohomologie, tandis que d'autres spécialisations peuvent modifier la géométrie qualitative sans saut cohomologique évident.

Synthèse

Un locus de saut de cohomologie est le lieu géométrique dans un espace de paramètres où la cohomologie gagne en rang, servant d'indicateur de fibres spéciales, de déformations obstructées ou d'apparition de sections globales ; il organise les lieux de comportement exceptionnel et oriente une analyse fine des modules.