Définition
Un schéma dont le faisceau structural contient des sections nilpotentes non nulles, équivalemment un schéma dont certains anneaux locaux ne sont pas réduits ; les points géométriques peuvent porter une structure infinitésimale intégrée au-delà de l'espace topologique sous‑jacent.
Principe
Principe
La non‑réduction capture la structure algébrique infinitésimale ou incorporée : les éléments nilpotents des anneaux locaux codent l'épaisseur, la multiplicité ou des directions infinitésimales de premier ordre invisibles sur la variété réduite sous‑jacente.
Démonstration
Démonstration
Spec(k[x]/(x^2)) est un schéma non réduit élémentaire : l'espace topologique sous‑jacent est un point unique, mais l'anneau des coordonnées contient le nilpotent x, de sorte que les fonctions et l'information tangentielle reflètent un voisinage infinitésimal de premier ordre plutôt qu'un point réduit ordinaire.
Mauvaise application
Mauvaise application
Confondre non réduit et réductible est une erreur : un schéma non réduit peut être topologiquement irréductible tout en portant une structure nilpotente, tandis que la réductibilité concerne la décomposition de l'espace topologique et non la présence de nilpotents.
Conséquence
Conséquence
Les schémas non réduits exigent des formulations modifiées de nombreux théorèmes : dimensions, multiplicités, espaces tangents et théories de déformation doivent prendre en compte les nilpotents ; les multiplicités d'intersection et la cohomologie des faisceaux peuvent différer de leurs analogues réduits.
Inversion
Inversion
Un schéma réduit ne possède pas de sections nilpotentes non nulles dans son faisceau structural ; ses anneaux locaux sont réduits et les invariants géométriques et algébriques coïncident avec ceux calculés sur l'espace topologique sous‑jacent.
Limite
Limite
La notion appartient à la théorie des schémas et à la géométrie algébrique ; elle exclut les variétés ou schémas usuels supposés réduits, et de nombreux résultats familiers supposent la réduction à moins que les nilpotents ne soient explicitement autorisés et traités.
Tension sémantique
Tension sémantique
Il existe une tension entre l'intuition topologique d'un point et la réalité algébrique : un point non réduit est identique topologiquement à un point réduit mais porte une épaisseur algébrique supplémentaire ; distinguer structure infinitésimale et multiplicité géométrique réelle est essentiel.
Synthèse
Synthèse
Un schéma non réduit est un espace algébrique dont les anneaux locaux contiennent des nilpotents, codant des données infinitésimales ou de multiplicité invisibles sur la topologie sous‑jacente et imposant des raffinements des notions de dimension, tangente et intersection.