Une algèbre d'une variété, librement engendrée par un ensemble de générateurs ; elle vérifie la propriété universelle selon laquelle toute application du jeu de générateurs vers une algèbre de la variété s'étend de façon unique en un homomorphisme depuis l'algèbre libre.

Principe

Universalité : pour une variété V et un ensemble X, une algèbre libre F(X) dans V sur X est munie d'une inclusion des générateurs telle que pour toute algèbre A de V et toute application f : X→A il existe un unique homomorphisme F(X)→A prolongeant f.

Démonstration

Exemple : le groupe libre sur un ensemble X est constitué des mots réduits en X∪X^{-1} munis de la concaténation ; toute application de X dans un groupe G s'étend de façon unique en un homomorphisme du groupe libre vers G, réalisant la propriété universelle.

Mauvaise application

Confondre algèbre libre et objet libre dans une catégorie plus large (par exemple en négligeant les identités de la variété) ou considérer comme « libre » une algèbre présentée en imposant des relations et en les ignorant ; supposer aussi que la liberté implique un rang fini sans justification.

Conséquence

Les algèbres libres fournissent des présentations canoniques par générateurs et relations, permettent de construire des homomorphismes en spécifiant les images des générateurs, et sous-tendent des constructions universelles comme les coproduits dans les variétés ; elles sont essentielles pour l'analyse des congruences via noyaux d'applications issues d'algèbres libres.

Inversion

La notion duale est celle d'objet co‑libre en contexte coalgébraïque ; inverser la liberté dans une variété conduit aux quotients par relations, donc à une algèbre présentée où les générateurs satisfont des relations non triviales et où les applications sortantes ne sont plus uniques.

Limite

La liberté s'entend relativement à une variété et à une signature fixées ; l'existence d'algèbres libres est garantie dans de nombreuses variétés usuelles mais dépend de propriétés de fermeture (par exemple l'existence d'objets libres peut échouer pour des classes arbitraires) ; la liberté n'implique ni finitude ni décidabilité.

Tension sémantique

Tension entre « libre » et « projectif » : les objets projectifs relèvent des relèvements le long d'épimorphismes mais n'ont pas nécessairement la même propriété universelle à partir d'un ensemble de générateurs ; tension aussi entre « libre » et « sans relations » dans le langage des présentations.

Synthèse

Une algèbre libre est l'objet canonique engendré par un ensemble sans relations autres que celles imposées par la variété : définie par la propriété universelle d'extension, elle sert de source pour tous les homomorphismes fixés sur les générateurs et fournit les cadres de présentation et d'étude des congruences.