Une classe de structures qui est exactement la classe des modèles d'une certaine théorie du premier ordre, ou équivalemment une classe fermée par équivalence élémentaire et par passage à des sous‑structures élémentaires.

Principe

Les classes élémentaires sont celles définissables au niveau de la logique du premier ordre : l'appartenance se caractérise par la satisfaction d'un ensemble de phrases du premier ordre et est stable sous les notions de préservation propres à la sémantique du premier ordre (sous‑structures et extensions élémentaires).

Démonstration

La classe des corps algébriquement clos de caractéristique 0 est élémentaire car c'est la classe des modèles de la théorie du premier ordre ACF_0 ; toute sous‑structure élémentaire d'un tel corps est encore algébriquement clos de caractéristique 0.

Mauvaise application

Qualifier une classe d'élémentaire parce qu'elle est fermée par isomorphisme est insuffisant ; par exemple la classe des groupes finis est stable par isomorphisme mais n'est pas élémentaire puisque la finitude n'est pas exprimable au premier ordre.

Conséquence

Si une classe est élémentaire, les outils de la théorie des modèles s'appliquent : on peut étudier les théories complètes, les modèles premiers et saturés dans la classe, et exploiter la compacité et Löwenheim‑Skolem pour analyser le spectre et les ensembles définissables des membres.

Inversion

Une classe non élémentaire (par exemple une classe élémentaire abstraite ou une classe définie seulement en logique infinitaire) peut être robuste mais n'a pas de caractérisation par une théorie du premier ordre et peut ne pas être fermée sous sous‑structures ou équivalence élémentaire.

Limite

Le concept exclut les classes définies uniquement par conditions du second ordre ou infinitaires et celles nécessitant des contraintes de cardinalité comme 'finie' ou 'dénombrable' ; il suppose un langage du premier ordre fixé et la sémantique standard de Tarski.

Tension sémantique

Tension entre 'axiomatisable' (axiomatisable par un ensemble du premier ordre) et 'axiomatisable finiment' ou 'axiomatisable par des phrases universelles' ; différents auteurs emploient 'élémentaire' pour insister sur des propriétés de fermeture, ce qui peut masquer les restrictions quantificateurs/finies sous‑entendues.

Synthèse

Une classe élémentaire est l'incarnation model‑théorique de la définissabilité du premier ordre : une collection de structures précisément capturée par une théorie du premier ordre et stable sous les notions élémentaires qui préservent la vérité du premier ordre.