Une théorie du premier ordre dont les axiomes sont exclusivement des équations entre termes sur une signature ; ses modèles sont exactement les algèbres dans lesquelles les identités énoncées valent universellement.

Principe

Employer des axiomes équationnels (identités) comme unique forme d’assertion de sorte que les dérivations reposent sur la substitution, la réflexivité, la symétrie, la transitivité et les règles de congruence pour les termes ; les théories équationnelles correspondent à des classes fermées pour les opérateurs de l’algèbre universelle.

Démonstration

La théorie équationnelle des semi‑groupes est l’ensemble de toutes les identités sur l’opération binaire qui sont vraies dans tout semi‑groupe (par exemple l’associativité comme axiome de base) ; vérifier si une identité découle de la théorie se ramène à des manipulations dans des algèbres de termes libres ou à l’utilisation de techniques de réécriture de mots adaptées à la signature.

Mauvaise application

S’attendre à ce que les théories équationnelles capturent des propriétés nécessitant des quantificateurs existentiels (comme « il existe un élément idempotent » sauf si les idempotents sont définis fonctionnellement) ou des relations d’ordre ; tenter d’axiomatiser de telles propriétés uniquement par des identités échoue souvent ou impose des encodages artificiels.

Conséquence

Les théories équationnelles produisent des conséquences algébriques solides : elles garantissent l’existence d’algèbres libres, permettent des méthodes algorithmiques de réécriture et d’unification de termes, et engendrent des constructions de congruences et de quotients gouvernées par des équations syntaxiques.

Inversion

Remplacer des axiomes équationnels par des phrases arbitraires du premier ordre augmente la puissance d’expression (on peut énoncer existence et propriétés d’ordre) mais fait perdre de nombreux avantages équationnels comme les constructions libres directes et la déduction équationnelle purement syntaxique.

Limite

S’applique strictement aux axiomes qui sont des équations universellement quantifiées entre termes dans une signature donnée ; exclut les implications Horn non équivalentes à des ensembles d’identités, les assertions existentielles et les propriétés essentiellement du second ordre ou impliquant des relations non fonctionnelles sauf encodage comme opérations.

Tension sémantique

Il y a une tension entre le caractère décidable et syntaxique de la conséquence équationnelle et la sémantique plus riche des théories du premier ordre complètes : certains phénomènes algébriques naturels ne sont pas exprimables équationnellement, imposant un compromis entre expressivité et simplicité des fermetures algébriques.

Synthèse

Une théorie équationnelle consiste en identités qui contraignent uniformément les opérations‑termes d’une signature ; ses modèles forment une classe fermée équationnellement avec objets libres et méthodes syntaxiques algorithmiques pour dériver des identités, fondant une grande partie du raisonnement en algèbre universelle.