Un principe équivalent axiomatiquement à l'Axiome du Choix : si un ensemble partiellement ordonné vérifie que tout sous-ensemble totalement ordonné (chaîne) admet une borne supérieure, alors le poset contient au moins un élément maximal.

Principe

Sous l'hypothèse de borne supérieure pour les chaînes, on garantit un élément qui ne peut être strictement étendu ; le principe est non constructif et équivalent (dans la théorie ZF) à d'autres principes du choix comme l'Axiome du Choix et le Théorème du Bon Ordre.

Démonstration

Application algébrique usuelle : dans un espace vectoriel, considérez l'ensemble des sous-ensembles linéairement indépendants ordonné par inclusion. Toute chaîne admet pour borne supérieure son union, donc par le lemme de Zorn il existe un sous-ensemble linéairement indépendant maximal, c'est-à-dire une base.

Mauvaise application

Employer le lemme de Zorn là où la condition sur les chaînes fait défaut ou dans des contextes nécessitant des descriptions constructives explicites ; supposer l'unicité ou la calculabilité de l'élément maximal garanti abstraitement par Zorn.

Conséquence

Fournit des résultats d'existence en algèbre et analyse : existence de bases d'espaces vectoriels, d'idéaux maximaux, de clôtures algébriques de corps et d'autres objets maximaux ; il offre des conclusions d'existence puissantes et non constructives utilisées dans l'algèbre moderne.

Inversion

La réciproque — tout poset possédant un élément maximal vérifie la propriété de borne supérieure pour les chaînes — n'est pas vraie en général ; de manière équivalente, l'absence d'élément maximal n'implique pas l'échec des principes du choix. La réversion logique est fournie par les autres principes équivalents au choix, comme l'Axiome du Choix.

Limite

S'applique aux ensembles partiellement ordonnés remplissant l'hypothèse de borne supérieure pour les chaînes ; il est non constructif et dépend des principes du choix en théorie des ensembles, de sorte qu'il ne fournit pas de constructions explicites ni d'algorithmes effectifs pour les éléments maximaux qu'il garantit.

Tension sémantique

Se heurte conceptuellement aux approches constructives et aux méthodes basées sur le bon ordre : le lemme de Zorn donne des affirmations d'existence larges fondées sur le choix, tandis que les cadres constructifs refusent de telles existences non constructives sans témoins explicites.

Synthèse

Le lemme de Zorn est un principe fondamental d'existence : en exigeant que toute chaîne admette une borne supérieure il garantit l'existence d'éléments maximaux dans les posets, fournissant un outil non constructif mais essentiel, équivalent à l'Axiome du Choix, pour de nombreux théorèmes d'existence en algèbre.