Un test suffisant d'irréductibilité pour les polynômes à coefficients entiers : s'il existe un nombre premier p tel que p divise tous les coefficients sauf le coefficient dominant, p^2 ne divise pas le terme constant et p ne divise pas le coefficient dominant, alors le polynôme est irréductible sur les rationnels.

Principe

La réduction modulo p transforme le polynôme en une forme où l'hypothèse rend impossible une factorisation rationnelle non triviale : la divisibilité par p des coefficients et l'absence de divisibilité par p^2 du terme constant empêchent toute factorisation en Q[x].

Démonstration

Considérons f(x)=x^3+6x^2+9x+3. Prenons p=3 : 3 divise 6,9,3 ; 3 ne divise pas le coefficient dominant 1 ; et 3^2=9 ne divise pas le terme constant 3. Par le critère d'Eisenstein, f est donc irréductible sur Q.

Mauvaise application

Appliquer Eisenstein sans vérifier la condition p^2, utiliser un entier composé à la place d'un premier, ou négliger qu'un changement de variable linéaire peut rendre le critère applicable ; aussi confondre suffisance et nécessité—beaucoup de polynômes irréductibles ne satisfont pas Eisenstein pour aucun premier.

Conséquence

Fournit une condition suffisante, efficace et simple à vérifier pour l'irréductibilité sur Q qu'on peut souvent mettre en œuvre après un changement de variable x→x+c ; lorsqu'il s'applique il simplifie immédiatement les tâches de factorisation.

Inversion

L'absence d'un premier convenable p n'implique pas la réductibilité : le critère ne va que dans un sens. Toutefois, appliquer le critère à f(x+k) pour un entier k peut parfois révéler une irréductibilité non visible sur le polynôme d'origine.

Limite

S'applique aux polynômes à coefficients entiers (ou dans des DFI munis d'un premier choisi) et donne des conditions suffisantes mais non nécessaires ; il ne couvre pas les polynômes pour lesquels aucun premier ne satisfait les contraintes de divisibilité, et il exige de vérifier la divisibilité par des puissances d'un premier.

Tension sémantique

Complémentaire au lemme de Gauss et aux algorithmes de factorisation : Eisenstein est un test suffisant spécifique et facilement vérifiable, tandis que Gauss permet une réduction structurelle aux coefficients entiers ; des tensions apparaissent car beaucoup d'irréductibles échappent à Eisenstein mais sont détectés par d'autres méthodes.

Synthèse

Le critère d'Eisenstein est un test concret fondé sur la divisibilité : en trouvant un premier dont le motif de divisibilité parmi les coefficients satisfait le critère, on conclut immédiatement à l'irréductibilité sur Q, souvent après un simple déplacement de variable.