Une assertion sur l'arithmétique des polynômes sur les entiers (et plus généralement sur les domaines à factorisation unique) qui relie primitivité et irréductibilité : le produit de polynômes primitifs est primitif, et un polynôme primitif est irréductible sur Q si et seulement s'il l'est sur Z.

Principe

On introduit le contenu d'un polynôme (le pgcd de ses coefficients). Le lemme de Gauss sépare le contenu de la partie primitive et montre la multiplicativité du contenu à des unités près, ce qui permet de tester l'irréductibilité sur Q via des représentants primitifs dans Z[x].

Démonstration

Si f(x)=2x+1 et g(x)=3x+1 ont contenu 1, ils sont primitifs ; leur produit fg a aussi des coefficients de pgcd 1, donc est primitif. De façon générale, une factorisation non triviale en Q[x] d'un primitif conduit, après élimination des dénominateurs, à une factorisation non triviale en Z[x], ce qui contredit l'irréductibilité en Z[x].

Mauvaise application

Confondre « primitif » (contenu 1) et « irréductible », appliquer le lemme dans des anneaux qui ne sont pas des DFI sans vérifier les hypothèses, ou supposer que l'irréductibilité dans Z[x] implique l'irréductibilité dans toute extension sans tenir compte des unités et des associés.

Conséquence

Ramène les questions d'irréductibilité sur Q à des calculs dans Z[x] avec des polynômes primitifs, permettant l'usage de critères entiers (comme Eisenstein) et d'algorithmes de calcul sans sortir de l'arithmétique entière.

Inversion

Le lemme fournit une équivalence : l'irréductibilité dans Q[x] équivaut à la primitivité assortie de l'irréductibilité dans Z[x] ; inversement, une factorisation rationnelle se décrit comme produit de contenus et de polynômes primitifs entiers.

Limite

Valable dans Z et plus généralement dans les domaines à factorisation unique ; il échoue ou doit être adapté dans des anneaux sans factorisation unique ou où le pgcd et le contenu ne se comportent pas classiquement. Il traite des polynômes sur des domaines intègres, pas sur des anneaux non commutatifs quelconques.

Tension sémantique

Se relie au critère d'Eisenstein et aux algorithmes de factorisation : le lemme de Gauss est un outil de réduction structurelle tandis qu'Eisenstein donne une condition suffisante concrète ; des tensions apparaissent lors des tests d'irréductibilité hors DFI ou quand le contenu est mal comporté.

Synthèse

Le lemme de Gauss sépare contenu et part primitive et établit la multiplicativité de la primitivité : en réduisant l'irréductibilité sur Q à l'étude des polynômes entiers primitifs il fournit le pont structurel qui permet des tests et factorisations fondés sur l'arithmétique entière.