Propriété algébrique d'une opération binaire selon laquelle le regroupement (la parenthésation) des opérandes n'affecte pas le résultat : pour tous a, b, c du domaine, (a·b)·c = a·(b·c).

Principe

Si une opération est associative, toute suite finie d'opérandes peut être combinée sans référence aux parenthèses ; l'opération définit une composition n-aire cohérente indépendante du groupement.

Démonstration

Addition des réels : (1+2)+3 = 1+(2+3) = 6. La multiplication de matrices est associative : (AB)C = A(BC) pour des matrices conformes. La composition de fonctions est associative : (f∘g)∘h = f∘(g∘h).

Mauvaise application

Traiter la soustraction ou la division ordinaire comme associatives et réécrire (a−b)−c en a−(b−c) sans vérification conduit à des erreurs ; ou supposer qu'une opération sur une nouvelle structure est associative sans démonstration.

Conséquence

L'associativité permet de supprimer les parenthèses pour des produits longs, autorise la définition de semi-groupes et de monoïdes, et facilite des définitions et algorithmes inductifs combinant les termes de manière arbitraire.

Inversion

Les opérations non associatives (p. ex. la soustraction sur les nombres, certaines opérations sur des boucles, ou la multiplication dans quelques algèbres non associatives) dépendent du groupement explicite : (a·b)·c peut différer de a·(b·c).

Limite

S'applique à une opération binaire donnée sur un ensemble spécifié ; n'implique pas la commutativité ni la distributivité et ne s'étend pas automatiquement aux opérations mixtes. L'associativité peut tenir pour certains éléments et échouer pour d'autres (associativité partielle).

Tension sémantique

Souvent confondue avec la commutativité (invariance de l'ordre) : l'associativité concerne le groupement, la commutativité concerne l'ordre. En théorie des catégories, une forme affaiblie fondée sur la cohérence (morphismes associateurs) apparaît plutôt que l'égalité stricte.

Synthèse

La Loi d'Associativité affirme que, pour une opération binaire donnée, le résultat de la combinaison de plusieurs opérandes est indépendant de la manière dont ils sont parenthésés, permettant une composition multi-opérande cohérente et la construction de structures algébriques par application répétée.