Le supremum des longueurs n de chaînes d'idéaux premiers (ou de sous-objets premiers) P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn dans un anneau commutatif ou une structure algébrique analogue ; une notion primaire de dimension algébrique.

Principe

La dimension de Krull organise un espace par les inclusions strictes les plus longues de sous-structures premières ; la hauteur des premiers et les longueurs de chaînes mesurent combien de couches indépendantes de spécialisation algébrique existent.

Démonstration

Dans l'anneau de polynômes k[x1,...,xn] sur un corps, la dimension de Krull vaut n car on peut former des chaînes (0) ⊂ (x1) ⊂ (x1,x2) ⊂ ... d'idéaux premiers de longueur n.

Mauvaise application

Traiter la dimension de Krull comme une dimension topologique ou de type espace vectoriel sans vérifier sa définition conduit à des erreurs ; par exemple, l'identifier aveuglément au degré de transcendance en contexte non noethérien peut échouer.

Conséquence

Identifier correctement la dimension de Krull informe l'intuition géométrique sur les composantes irréductibles, la codimension et le comportement des chaînes de premiers ; elle régit de nombreux résultats en algèbre commutative et géométrie algébrique.

Inversion

Inverser le concept reviendrait à mesurer des longueurs de chaînes minimales plutôt que maximales ou à se concentrer sur des rangs d'espaces vectoriels ; cela donne des invariants différents ne rendant pas compte de la profondeur des chaînes de premiers.

Limite

Définie pour les anneaux commutatifs, les schémas et structures voisines où les idéaux premiers ont un sens ; elle ne s'applique pas directement aux anneaux non commutatifs sans adaptation et peut se comporter de façon pathologique en cas non noethérien.

Tension sémantique

La tension existe entre la dimension de Krull et d'autres notions comme la dimension de Kronecker ou les dimensions homologiques ; bien qu'elles soient reliées, elles saisissent des aspects structurels distincts — profondeur des chaînes de premiers contre longueurs de résolutions projectives.

Synthèse

La dimension de Krull est la mesure algébrique des inclusions hiérarchiques d'idéaux premiers et fournit une notion fondamentale de dimension reliant les chaînes d'anneaux à la codimension géométrique et à la spécialisation.