La multiplicité est le nombre entier décrivant combien de fois une racine, une valeur propre ou une intersection donnée apparaît : la multiplicité algébrique (d'une racine) est l'exposant du facteur (x−α)^m dans un polynôme, la multiplicité algébrique d'une valeur propre est sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique ; la multiplicité géométrique compte les vecteurs propres indépendants.

Principe

La multiplicité traduit une structure répétée et commande le comportement local : une multiplicité élevée correspond à l'annulation des dérivées jusqu'à l'ordre m−1, affecte la diagonalisation (multiplicité algébrique vs géométrique) et intervient en théorie des intersections comme multiplicité d'intersection.

Démonstration

Polynôme : (x−1)^3 a 1 comme racine de multiplicité 3 ; matrice : un bloc de Jordan de taille 3 pour la valeur propre λ donne multiplicité algébrique 3 mais multiplicité géométrique 1, produisant un opérateur non diagonalisable.

Mauvaise application

Supposer que la multiplicité algébrique égale la multiplicité géométrique ou que la multiplicité est négligeable pour la sensibilité : par exemple traiter une racine triple comme trois racines simples proches sous perturbation sans vérifier la stabilité ou la séparabilité.

Conséquence

Un comptage correct des multiplicités informe les algorithmes de factorisation, la stabilité des méthodes de recherche de racines, la décomposition spectrale et le comptage d'intersections ; la multiplicité influence le comportement des méthodes itératives et la sensibilité aux perturbations.

Inversion

L'inverse est le cas de racine simple (multiplicité 1) ou d'intersection transverse, représentant un comportement générique et stable ; passer d'une haute multiplicité à des racines simples est souvent un processus de désingularisation.

Limite

Les notions de multiplicité varient selon le contexte : multiplicité algébrique, multiplicité géométrique et multiplicité d'intersection diffèrent et ne doivent pas être confondues ; en caractéristique positive ou dans les schémas non réduits la multiplicité interagit subtilement avec la séparabilité et la structure du schéma.

Tension sémantique

Tension entre multiplicité algébrique et multiplicité géométrique : elles coïncident seulement dans des circonstances particulières ; de même, multiplicité versus ordre ou degré peut être confondu si la catégorie ambiante (polynôme, schéma, analytique) n'est pas précisée.

Synthèse

La multiplicité est la mesure entière de la répétition des phénomènes algébriques — racines, valeurs propres, intersections — avec des variantes algébrique et géométrique qui gouvernent la stabilité, la diagonalisabilité et la structure locale singulière et qui doivent être interprétées dans leur contexte.