La norme d'un opérateur linéaire borné T entre espaces vectoriels normés est le supremum des normes de sortie pour des vecteurs d'entrée unitaires : ||T|| = sup{||Tx|| : ||x|| = 1}, soit encore la plus petite constante C telle que ||Tx|| ≤ C||x|| pour tout x.

Principe

C'est la norme induite par la norme du espace vectoriel et elle classe les applications linéaires par leur facteur d'étirement maximal ; elle est sous-multiplicative (||ST|| ≤ ||S||·||T||) et fournit des bornes de type Lipschitz.

Démonstration

Pour une matrice 2×2 A regardée avec la norme euclidienne, la norme d'opérateur est la plus grande valeur singulière. Exemple : A = [[3,0],[0,1]] a ||A||2 = 3 car le vecteur unitaire e1 est étiré d'un facteur 3 et aucun vecteur unitaire n'est étiré davantage.

Mauvaise application

Confondre la norme d'opérateur avec la norme de Frobenius ou le rayon spectral dans des situations où ces normes diffèrent ; par exemple utiliser la norme de Frobenius pour borner la croissance d'une itération quand on a besoin de sous-multiplicativité ou d'informations spectrales précises.

Conséquence

Une utilisation correcte donne des bornes effectives de stabilité et d'erreur, une constante de Lipschitz pour les applications linéaires et le contrôle des taux de convergence en calcul numérique et des estimations de perturbation.

Inversion

L'inverse conceptuel consiste à considérer la sortie minimale non nulle sur les vecteurs unitaires (la norme minimale ou plus petite valeur singulière), qui mesure l'injectivité plutôt que l'étirement maximal.

Limite

Définie pour les opérateurs linéaires bornés entre espaces normés ; elle ne s'applique pas directement aux opérateurs non bornés sans considérer le domaine et la norme du graphe, ni aux applications non linéaires sauf par linéarisation.

Tension sémantique

Tension entre la norme d'opérateur, le rayon spectral et les normes coefficientielles (par ex. Frobenius) : toutes mesurent une taille mais diffèrent par invariance et précision, le choix influe donc sur les conclusions de stabilité et de croissance.

Synthèse

La norme d'opérateur est la mesure induite de l'amplification maximale qu'exerce un opérateur linéaire sur les vecteurs dans une norme donnée, fournissant des constantes de Lipschitz précises et se combinant avec des notions spectrales et d'autres normes selon le contexte.