Un invariant scalaire associé à une matrice carrée ou un endomorphisme qui encode le facteur d'échelle de volume, le changement d'orientation et l'inversibilité : une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Principe

Le déterminant est multiplicatif par composition : det(AB)=det(A)det(B). Il est égal au produit des valeurs propres (avec multiplicité algébrique) et, pour une matrice n×n, est une application alternée n-linéaire des colonnes (ou des lignes).

Démonstration

Exemple : pour A = [[2,1],[3,4]] sur R, det(A)=2·4−1·3=8−3=5 ; A multiplie les aires orientées par 5 et est inversible car det≠0.

Mauvaise application

Employer le déterminant comme test numériquement robuste d'inversibilité pour grandes matrices — un déterminant petit peut être dû à l'échelle ou aux erreurs d'arrondi — ou tenter de définir le déterminant pour matrices non carrées sans passer par des opérateurs carrés induits (par ex. matrices de Gram).

Conséquence

Le calcul correct du déterminant fournit des informations décisives : inversibilité, signe du changement d'orientation et variation globale de volume ; les déterminants apparaissent dans les formules de changement de variables et comme terme constant du polynôme caractéristique.

Inversion

Plutôt que de résumer une matrice par son déterminant (un scalaire), considérer l'ensemble des valeurs propres ou la décomposition en valeurs singulières, qui donnent une information directionnelle plus fine et la condition numérique.

Limite

Défini naturellement pour les matrices n×n sur des anneaux/ corps commutatifs ; les généralisations aux opérateurs sur espaces de dimension infinie exigent des conditions (opérateurs de trace, déterminant de Fredholm) ; sur des anneaux non commutatifs les invariants analogues diffèrent.

Tension sémantique

Tension entre déterminant et permanent : tous deux sont des sommes sur les permutations mais le permanent n'a pas les signes alternés et ne traduit pas l'orientation ; tension aussi entre l'invariant algébrique déterminant et la stabilité numérique de son calcul.

Synthèse

Le déterminant est un scalaire qui caractérise une transformation linéaire carrée : il renseigne sur l'inversibilité et l'échelle de volume orientée, et sa multiplicativité et son alternance sont ses propriétés structurantes.