La torsion désigne la propriété des éléments d'avoir un ordre fini sous l'opération pertinente, et le sous-groupe de torsion (ou sous-module de torsion) est l'ensemble de tous ces éléments à l'intérieur de l'objet algébrique considéré.

Principe

La torsion isole la partie périodique d'une structure : les éléments annihilés par un certain entier non nul (ou par un scalaire non nul dans le contexte des modules) forment un sous-objet distingué qui sépare souvent l'objet en complément sans torsion.

Démonstration

Le groupe Q/Z est entièrement constitué d'éléments de torsion : chaque classe rationnelle a un ordre additif fini. En revanche Z est sans torsion car aucun entier non nul n'a d'ordre additif fini.

Mauvaise application

Employer « torsion » sans préciser le contexte (groupe versus module sur un anneau) et mal interpréter ainsi les annulateurs (par exemple sur un anneau à diviseurs de zéro la définition naive échoue), ou confondre torsion avec nilpotence ou divisibilité.

Conséquence

Identifier le sous-groupe de torsion permet des décompositions structurelles (par exemple les groupes abéliens de type fini se scindent en torsion ⊕ partie libre), affine la classification et éclaire les calculs d'extensions et d'homologie.

Inversion

L'absence de torsion (sans-torsion) implique que tout élément non nul a ordre infini ou n'est pas annihilé par les scalaires autorisés, ce qui entraîne d'autres propriétés d'injection et d'extension.

Limite

La torsion est bien définie pour les groupes abéliens et les modules sur des domaines intègres ; pour des modules sur des anneaux avec diviseurs de zéro il faut remplacer « ordre fini » par « annihilé par un non-diviseur de zéro » ou utiliser une théorie de torsion adaptée—le sens exact dépend donc de la catégorie.

Tension sémantique

La torsion en algèbre (éléments d'ordre fini) est souvent confondue avec la torsion topologique (torsion en homologie) ou avec des notions géométriques de torsion ; la tension vient de l'usage d'un même vocabulaire pour des invariants distincts mais apparentés.

Synthèse

La torsion capture le noyau d'ordre fini d'un objet algébrique : la sous-collection d'éléments annihilés par un scalaire ou une puissance non nulle, qui isole la structure périodique et permet de décomposer en parties à torsion et sans torsion.