Pour un élément d'une structure algébrique munie d'une opération binaire et d'un élément neutre, l'ordre est le plus petit entier positif n tel que l'application de l'opération n fois à l'élément donne l'élément neutre ; s'il n'existe pas d'entier tel, l'élément est dit d'ordre infini.

Principe

L'ordre mesure la périodicité d'un élément sous itération de l'opération et détermine le sous-groupe cyclique engendré par cet élément ; c'est un invariant fondamental reliant le comportement de l'élément à la structure des sous-groupes.

Démonstration

Dans le groupe additif Z/12Z la classe de 3 a pour ordre 4 car 3+3+3+3 ≡ 0 (mod 12) et aucune somme positive plus petite ne donne 0. Dans le groupe symétrique S3 le cycle 3 (1 2 3) a pour ordre 3 car le composer trois fois donne l'identité.

Mauvaise application

Confondre l'ordre d'un élément avec l'ordre d'un ensemble ou d'un groupe, ou supposer sans justification que tout élément d'un groupe infini a un ordre fini.

Conséquence

Connaître l'ordre d'un élément donne son sous-groupe cyclique complet, contraint ses puissances (par exemple g^k ne dépend que de k modulo n) et intervient dans des théorèmes structurels comme le théorème de Lagrange pour les groupes finis.

Inversion

Un élément d'ordre infini engendre un sous-groupe cyclique infini et n'a aucune périodicité finie ; c'est la négation du comportement de torsion.

Limite

La notion est définie uniquement quand l'itération d'une opération binaire sur un même élément a un sens (groupes, monoïdes, modules via addition répétée) ; elle exige un élément neutre et ne s'applique pas directement à des objets algébriques sans répétition ou identité.

Tension sémantique

L'ordre peut être confondu avec l'exposant (le PPCM global des ordres des éléments) ou avec des mesures de type valuation qui ordonnent les éléments ; la tension porte sur l'invariant entier local par rapport aux invariants globaux de la structure.

Synthèse

L'ordre est le nombre fondamental de périodicité d'un élément : la plus petite répétition positive qui ramène à l'élément neutre, identifiant le sous-groupe cyclique engendré et soutenant de nombreuses relations de divisibilité et de sous-groupes en algèbre.