L'opération qui associe à une sous-structure (généralement un idéal) l'ensemble des éléments dont une puissance appartient à la sous-structure ; pour un idéal I, son radical rad(I) = {x | x^n ∈ I pour un certain n ≥ 1}, donnant un objet fermé par radical (un idéal égal à son propre radical).

Principe

On forme le radical en fermant par prise de racines de puissances : un élément appartient au radical exactement lorsqu'il appartient à tout idéal premier contenant la sous-structure initiale ; les radicaux s'expriment comme intersections de sur-idéaux premiers et détectent les quotients réduits.

Démonstration

Dans k[x], le radical de (x^2) est (x) parce que tout polynôme dont une puissance appartient à (x^2) doit être divisible par x. Dans Z, rad((12)) = (6) puisque les facteurs premiers de 12 sont 2 et 3 et le radical est engendré par le produit des premiers distincts.

Mauvaise application

Confondre clôture radicale et clôture intégrale ou adjoindre des éléments algébriques ; prendre des radicaux sans tenir compte de la structure ambiante peut effacer l'information de multiplicité et confondre des composantes primaires distinctes.

Conséquence

Prendre des radicaux donne des quotients réduits (le quotient par un idéal radical est réduit) et identifie le support premier ; on élimine l'information nilpotente, simplifiant l'image géométrique au prix de perdre les multiplicités et les données immergées.

Inversion

L'opération inverse est le passage à des puissances ou à des épaississements primaires (remplacer un idéal par ses puissances ou composantes primaires), qui réintroduit des nilpotents et l'information de multiplicité que le radical oublie.

Limite

La clôture radicale est une opération intrinsèque sur les idéaux et les sous-variétés mais ne capture ni l'intégralité ni des structures algébriques plus fines ; elle est plus faible que la clôture intégrale et la décomposition primaire et peut ne pas refléter des propriétés de finitude ou de descente.

Tension sémantique

La clôture radicale est en tension avec la clôture intégrale et la décomposition primaire : elle enregistre le support (les idéaux premiers) mais pas les multiplicités ni les relations intégrales, et peut donc être inadaptée pour des questions de finitude ou de normalisation.

Synthèse

La clôture radicale est la clôture canonique par prise de racines d'une sous-structure qui produit un objet radical (réduit) en intersectant tous les sur-idéaux premiers ; elle révèle le support et élimine les nilpotents tout en abandonnant les subtilités de multiplicité et d'intégralité.