Le procédé consistant à remplacer un anneau (généralement un domaine ou un anneau réduit) par sa clôture intégrale dans son anneau total des fractions (ou anneau ambiant approprié), donnant un objet normal (intégralement clos) appelé normalisation.

Principe

On normalise en prenant la clôture intégrale dans l'anneau total des fractions afin d'éliminer les singularités dues à la non-intégralité ; l'application de normalisation est un morphisme intégral et birationnel dans le cas d'un domaine et satisfait une propriété universelle parmi les extensions intégrales.

Démonstration

Pour le domaine affine k[x^2,x^3] la normalisation est k[x] ; géométriquement cela correspond à l'application de normalisation de la droite lisse vers la cuspide. En géométrie algébrique, la normalisation d'un schéma réduit remplace les anneaux locaux par leurs clôtures intégrales dans leurs anneaux totaux des fractions.

Mauvaise application

Prétendre que la normalisation est toujours finie ou qu'elle résout toutes les singularités ; sans hypothèses noethériennes ou de type fini la normalisation peut ne pas être finie, et même une normalisation finie n'assure pas la lissité en dimensions supérieures.

Conséquence

La normalisation fournit un schéma ou un anneau normal, séparant souvent les branches et éliminant certains comportements singuliers ; elle donne un modèle intégral canonique et clarifie la structure des idéaux associés et des composantes.

Inversion

L'inverse consiste à reprendre le sous-anneau non normal, réintroduisant des défauts d'intégralité et pouvant engendrer de nouvelles singularités ou identifier des branches distinctes ; normalisation et oubli de la clôture intégrale ne sont pas des opérations réciproques en général.

Limite

La normalisation se définit principalement pour les domaines ou anneaux réduits en utilisant l'anneau total des fractions ; pour les anneaux non réduits il faut adapter la notion (par ex. normalisation du quotient réduit). La finitude, la compatibilité au changement de base et la préservation de propriétés exigent des hypothèses (Noethérien, de type fini).

Tension sémantique

La normalisation est souvent confondue avec la résolution des singularités : la normalisation rend l'anneau intégralement clos mais ne garantit pas la régularité (lissité) ; elle est aussi liée à la clôture intégrale mais insiste sur l'anneau total des fractions et la birationnalité.

Synthèse

La normalisation est la clôture intégrale canonique d'un domaine (ou d'un objet réduit) dans son anneau total des fractions, produisant un objet normal et un morphisme intégral (souvent fini) sous des hypothèses adéquates ; elle supprime les singularités dues à l'intégralité tout en respectant la structure birationnelle.