Le coproduit dans une catégorie algébrique donnée (classiquement les groupes, les algèbres associatives unitales ou d'autres variétés) : l'objet universel engendré par les facteurs soumis uniquement aux relations déjà présentes dans chaque facteur. Pour les groupes, le produit libre G * H contient des copies de G et H et n'impose aucune relation entre elles au-delà de celles internes à chaque facteur.

Principe

Former l'amalgamation « le moins contrainte » des objets donnés de sorte que les applications issues des facteurs s'étendent de manière unique : n'imposer aucune nouvelle relation liant des facteurs différents, réalisant la propriété universelle du coproduit selon laquelle toute paire d'homomorphismes depuis les facteurs vers une cible se factorise par le produit libre.

Démonstration

Le produit libre Z * Z de deux groupes cycliques infinis est le groupe libre F_2 sur deux générateurs ; les éléments sont des mots réduits alternant des puissances des deux générateurs sans autres relations.

Mauvaise application

Supposer que les relations d'un facteur interagissent automatiquement ou écrasent celles de l'autre — par exemple exiger la commutativité entre facteurs — contredit la propriété universelle ; mêler des relations sans effectuer une amalgamation ou un quotient est une mauvaise application.

Conséquence

La construction du produit libre fournit un outil flexible pour construire des objets avec des relations internes prescrites tout en restant extérieurement le plus libre possible ; elle sous-tend des constructions en théorie combinatoire des groupes, les décompositions de van Kampen et des constructions universelles en algèbre.

Inversion

L'approche opposée consiste à imposer toutes les relations transversales possibles, donnant des produits aux contraintes maximales (p. ex. produit direct ou diverses constructions par quotient) ; l'inversion met l'accent sur des interactions dépendantes plutôt que sur une amalgamation libre.

Limite

S'applique en tant que coproduit catégorique dans la variété algébrique choisie ; sa forme et ses propriétés dépendent de la catégorie (dans les catégories abéliennes le coproduit diffère des produits libres non abéliens), et il ne convient pas quand on exige des identifications supplémentaires ou des amalgamations sans quotients ultérieurs.

Tension sémantique

Tension entre « produit libre » et « objet libre » ou « produit direct » — le produit libre est universel sans relations croisées, tandis que le produit direct ou les constructions en catégories abéliennes introduisent des coordonnées commutatives ou des contraintes universelles supplémentaires.

Synthèse

La construction du produit libre crée l'amalgam universel des objets donnés sans relations inter-facteurs supplémentaires, ce qui en fait la manière canonique de combiner générateurs et relations tout en préservant la structure interne de chaque facteur.