Construction qui combine une famille de modules ou de groupes en un objet constitué de n-uplets ayant un nombre fini de composantes non nulles, les opérations étant définies composante par composante ; c'est le coproduit dans la catégorie des modules.

Principe

Définie par la propriété universelle de coproduit : les applications depuis la somme directe correspondent à des familles compatibles d'applications depuis chaque composant, les inclusions canoniques fournissant les injections.

Démonstration

Pour une famille dénombrable d'espaces vectoriels Vi, la somme directe ⊕i Vi est l'ensemble des n-uplets (vi) tels que vi = 0 pour presque tous i ; les applications linéaires depuis ⊕i Vi sont déterminées par leurs compositions avec les inclusions de chaque Vi.

Mauvaise application

Employer la somme directe là où le produit direct est requis : confondre les vecteurs à support fini avec les n-uplets arbitraires conduit à des erreurs sur la convergence élémentaire, la complétude ou les espaces duaux.

Conséquence

Permet de décomposer des modules en facteurs plus simples, de construire des objets libres et de calculer des invariants homologiques ; pour un nombre fini d'indices, somme directe et produit direct coïncident, simplifiant de nombreux arguments.

Inversion

Remplacer la somme directe par le produit direct supprime la contrainte de support fini : le produit autorise des n-uplets arbitraires et satisfait la propriété universelle du produit plutôt que du coproduit, modifiant le comportement des morphismes.

Limite

S'applique dans les catégories où les coproduits s'expriment par des n-uplets à support fini (modules, espaces vectoriels) ; pour des familles infinies la somme directe diffère du produit et les sommes topologiques ou complétées exigent une structure supplémentaire.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la somme directe interne vs externe (module comme somme de sous-modules vs coproduit externe) et avec le produit direct ; le terme « somme » masque souvent la contrainte de support fini.

Synthèse

La somme directe est la construction de coproduit formant des n-uplets à support fini, fournissant des injections de chaque composant et codant les décompositions de modules tout en se distinguant du produit cartésien pour les familles infinies.