Construction bilinéaire qui, pour deux modules ou espaces vectoriels sur un même anneau ou corps, fabrique un nouveau module ou espace vectoriel dont les applications linéaires correspondent exactement aux applications bilinéaires sur la paire ; les éléments sont des sommes finies de tenseurs simples v ⊗ w.

Principe

Caractérisé par une propriété universelle : les applications bilinéaires depuis le produit se factorisent de manière unique par une application linéaire depuis le produit tensoriel, faisant du produit tensoriel un adjoint (à gauche) de Hom dans les variables appropriées.

Démonstration

Pour des espaces vectoriels V et W de dimension finie sur un corps, en choisissant des bases, V ⊗ W admet pour base les produits tensoriels des vecteurs de base ; toute application bilinéaire V×W→X se factorise par une application linéaire V⊗W→X envoyant v⊗w sur f(v,w).

Mauvaise application

Confondre le produit tensoriel avec le produit cartésien ou identifier chaque élément à un tenseur simple ; tous les éléments ne sont pas simples et la construction annule la torsion dans le cas de modules non plats.

Conséquence

Permet de linéariser les phénomènes bilinéaires, d'obtenir l'algèbre multilinéaire, le changement de base et des structures monoïdales sur les catégories de modules ; il est fonctoriel et distribue sur les sommes directes sous conditions faibles.

Inversion

Remplacer le produit tensoriel par le produit direct ou Hom inverse la propriété universelle : Hom représente des applications linéaires depuis un facteur, tandis que le produit collecte des n-uplets sans linéarisation, changeant ainsi les rôles de source et cible des représentations.

Limite

Nécessite un anneau ou corps de base commun et est sensible à la platitude et à la torsion pour les modules sur des anneaux non corps ; les produits tensoriels infinis demandent des choix de complétion et une structure topologique si présente.

Tension sémantique

Souvent confondu avec les produits de Kronecker ou de Hadamard en contexte appliqué, ou avec le produit direct d'espaces ; le produit tensoriel est un quotient du module libre sur le produit cartésien par les relations de bilinéarité, pas un produit coordonné.

Synthèse

Le produit tensoriel est l'objet linéaire canonique codant les interactions bilinéaires : il universalise les applications bilinéaires en applications linéaires et produit un module de sommes formelles de tenseurs simples soumises aux relations de bilinéarité.