Un module qui admet une base : il est isomorphe à une somme directe (éventuellement infinie) de copies de son anneau de coefficients R, avec un ensemble distingué d'éléments (une base) tel que tout élément s'écrive de façon unique comme combinaison linéaire R-finie des éléments de la base.

Principe

Liberté = existence d'un ensemble libre générateur avec des expressions linéaires finies et uniques ; équivalemment, le module est isomorphe à R^{(I)} pour un certain indice I, de sorte que les morphismes depuis un module libre sont déterminés par les images de la base.

Démonstration

R^n avec les vecteurs canoniques e1,…,en est un R-module libre de rang n. Pour R=Z, Z^I (somme directe finie) sont des groupes abéliens libres ; la base canonique fournit des coordonnées et une propriété universelle de représentation.

Mauvaise application

Supposer que les sous-modules de modules libres sont libres sur des anneaux quelconques (ceci est vrai sur les anneaux principaux mais échoue en général), ou supposer que tous les modules projectifs sont libres sans vérifier des hypothèses sur l'anneau.

Conséquence

Les modules libres simplifient les problèmes linéaires : les bases donnent des coordonnées, les calculs de Hom se réduisent à des tuples, et les propriétés universelles rendent les constructions explicites ; la liberté implique projectivité et planéité mais est plus forte que la projectivité pour de nombreux anneaux.

Inversion

Un module projectif généralise la liberté en scindant des suites exactes, mais un module projectif n'admet pas forcément de base ; inversement, sur certains anneaux (par exemple corps ou anneaux principaux) projectif et libre coïncident.

Limite

La définition présuppose un anneau unitaire et des combinaisons linéaires finies en termes de base ; exclut les modules qui ne sont engendrés que de façon 'générique' ou qui nécessitent des combinaisons linéaires infinies sans condition de finitude, et distingue les situations non commutatives où la notion dépend du côté d'action.

Tension sémantique

La tension survient entre les notions de libre, projectif et plat : tout module libre est projectif et plat, mais la réciproque peut échouer ; il existe également une tension en rang infini entre représentations comme somme directe et comme produit direct.

Synthèse

Un module libre est un module pourvu d'une base, isomorphe de façon concrète à une somme directe de copies de son anneau ; il fournit des coordonnées et des propriétés universelles facilitant les constructions algébriques, tout en étant une condition plus forte que la projectivité.