L'anneau formé des sommes formelles ∑_{α} c_{α} x^{α} en une ou plusieurs indéterminées x avec des coefficients c_{α} dans un anneau ou un corps de coefficients donné, où des sommes infinies sont autorisées mais où aucune convergence analytique n'est requise ; l'addition est terme à terme et la multiplication est définie par le produit de Cauchy des coefficients.

Principe

Considérer les séries de puissances comme des objets algébriques complétés par rapport à l'idéal engendré par les indéterminées (topologie x-adique) : les opérations doivent respecter la structure de sommes formelles infinies et la loi de convolution de Cauchy pour les coefficients.

Démonstration

Pour un corps K, K[[x]] désigne l'anneau des séries formelles en une variable x : un élément typique est a0 + a1 x + a2 x^2 + … ; le coefficient de x^n dans un produit est ∑_{i+j=n} a_i b_j. Les unités sont exactement les séries dont le terme constant a0 est inversible dans K.

Mauvaise application

Traiter une série formelle comme une fonction analytique et supposer des propriétés de rayon de convergence ou substituer des valeurs numériques pour x sans structure de convergence ; ou supposer que tout élément est un polynôme (degré fini).

Conséquence

Le travail formel permet des opérations algébriques comme l'inversion, la différentiation formelle et la construction de complétions et d'anneaux locaux ; on obtient une structure d'anneau local complet et filtré avec des critères d'inversibilité explicites.

Inversion

L'anneau de polynômes est le pendant non complété où seules les sommes finies sont autorisées ; les séries analytiques imposent des conditions de convergence et possèdent une structure analytique absente du formel.

Limite

S'applique aux séries formelles sur un anneau unitaire des coefficients ; exclut les séries de Laurent (admettant des puissances négatives finies) sauf extension explicite, et exclut les considérations nécessitant la convergence analytique ou des topologies autres que la filtration adique.

Tension sémantique

La tension provient de l'opposition entre l'interprétation 'formelle' (purement algébrique, sans convergence) et l'interprétation 'analytique' (convergente) des séries de puissances ; un sens voisin est la complétion d'un anneau de polynômes versus un anneau de fonctions évaluables point par point.

Synthèse

Un anneau de séries formelles est la complétion algébrique d'un anneau de polynômes en une ou plusieurs indéterminées qui admet des sommes formelles infinies et une multiplication de type Cauchy, fournissant une structure d'anneau local complet utile en algèbre et en combinatoire sans invoquer la convergence analytique.