Un idéal propre M d'un anneau R maximal pour l'inclusion parmi les idéaux propres : il n'existe pas d'idéal I avec M ⊊ I ⊊ R ; équivalemment R/M est un corps.

Principe

La maximalité choisit des idéaux dont le quotient écrase toutes les non-unités, produisant un anneau simple (un corps) et servant de points en géométrie algébrique via les anneaux de coordonnées.

Démonstration

Dans Z, l'idéal (p) engendré par un nombre premier p est maximal car Z/(p) ≅ F_p est un corps. Dans k[x], les idéaux (x - a) pour a ∈ k sont maximaux avec quotient k.

Mauvaise application

Supposer qu'un idéal maximal est toujours principal ou qu'il implique la factorisation unique ; les idéaux maximaux ne sont pas nécessairement engendrés par un seul élément et n'assurent pas les propriétés d'UFD.

Conséquence

La localisation en un idéal maximal fournit un anneau local à un seul idéal maximal ; les idéaux maximaux correspondent aux points fermés du spectre d'un anneau.

Inversion

Un idéal propre non maximal peut être strictement contenu dans un idéal propre plus grand et son quotient n'est pas un corps mais possède des idéaux non triviaux ou des diviseurs de zéro.

Limite

Les idéaux maximaux sont propres par définition ; dans les anneaux non commutatifs les idéaux maximaux à gauche et à droite peuvent différer et l'équivalence avec les corps est remplacée par des divisions d'anneaux à sens unique.

Tension sémantique

Maximal vs premier : tout idéal maximal est premier dans les anneaux commutatifs, mais la réciproque peut échouer en dimension supérieure ; les confondre fait perdre de l'information sur la dimension.

Synthèse

Un idéal maximal est le plus grand idéal propre dont le quotient est un corps ; il repère des 'points' où l'anneau est simple et sert de base à la localisation et à l'interprétation géométrique.