Un idéal propre P d'un anneau commutatif R tel que si a·b ∈ P alors a ∈ P ou b ∈ P ; équivalemment le quotient R/P est un anneau intègre (sans diviseurs de zéro).

Principe

La primalité impose une indécomposabilité multiplicative au niveau des idéaux : quand un produit tombe dans P, au moins un facteur y tombe, éliminant les diviseurs de zéro dans le quotient.

Démonstration

Dans Z, l'idéal (p) engendré par un nombre premier p est premier et Z/(p) est un corps, donc un anneau intègre. Dans k[x,y], l'idéal (x) est premier car k[x,y]/(x) ≅ k[y] est intègre.

Mauvaise application

Prétendre que tout idéal premier est maximal : c'est vrai dans les anneaux principaux ou de dimension 1, mais en général un idéal premier n'est pas nécessairement maximal.

Conséquence

Le quotient par un idéal premier est un anneau intègre ; les idéaux premiers correspondent aux composantes irréductibles en géométrie algébrique et pilotent la localisation.

Inversion

Un idéal propre non premier peut contenir des produits sans que les facteurs y appartiennent ; son quotient contient des diviseurs de zéro et n'est pas intègre.

Limite

Les idéaux premiers sont par définition propres ; l'idéal nul peut être premier dans un domaine. Dans les anneaux non commutatifs existent plusieurs notions distinctes de primalité.

Tension sémantique

Idéal premier vs élément irréductible : les idéaux premiers généralisent les éléments premiers, mais un élément premier engendre un idéal premier seulement sous des conditions de factorisation ; confondre les deux mélange perspectives idéales et élémentaires.

Synthèse

Un idéal premier est un idéal propre qui contrôle la décomposition multiplicative : il oblige les facteurs des produits à y appartenir et fournit un quotient intègre, constituant une brique de base de la structure algébrique et géométrique.